БАЗИС

БАЗИС векторного (линейного) пространства — упорядоченная совокупность  векторов линейного пространства, удовлетворяющая двум условиям:

1. Совокупность векторов  линейно независима (см. Линейная зависимость).

2. Всякий вектор из рассматриваемого векторного (линейного) пространства является линейной комбинацией векторов из .

Если некоторый Б. векторного (линейного) пространства состоит из конечного числа  векторов, то и всякий другой базис состоит из такого же числа векторов. В этом случае векторное (линейное) пространство называется n-мерным. Если векторное (линейное) пространство не обладает конечным Б., то говорят о бесконечномерном пространстве.

Выбор Б. в векторном (линейном) пространстве позволяет сводить вычисления, связанные с векторами пространства, к вычислениям, относящимся только к векторам базиса.

Примеры

1. Пусть  — векторное (линейное) пространство, элементами (векторами) которого являются произвольные упорядоченные наборы из  чисел. Всякие  векторов

удовлетворяющие условию , являются базисом пространства .

2. Пространство  состоит из всех многочленов от одного переменного  степени не выше . Совокупность из  многочлена  образует базис в .

3. Векторное (линейное) пространство  всех непрерывных на отрезке [0,1] функций  не имеет конечного базиса. Это пространство бесконечномерно.