АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — взаимно однозначное отображение  одного аффинного пространства  в другое аффинное пространство  (в частности, возможно ), удовлетворяющее следующим свойствам:

1. Пусть  — произвольные точки из  и

,

( — точки из ), тогда .

2. Для любого вектора  из  и любого числа  справедливо

.

3. Для любых двух векторов  справедливо

.

А. п. иначе называется аффинным изоморфизмом аффинных пространств  и  (в случае, когда  — аффинным автоморфизмом).

Отметим, что в современной терминологии термин «преобразование» означает взаимно однозначное отображение множества на себя (см. Преобразование множества).

Каждое А. п. двух аффинных пространств  и  можно получить следующим образом. Выберем в  и  по аффинному реперу (начальные точки реперов обозначим через  и ). Каждой точке  из  поставим в соответствие точку  из , выбрав ее так, чтобы координаты вектора  в первом репере (см. Аффинная координатная система) равнялись соответственно координатам вектора  во втором репере.

Суперпозиция двух А. п.  и  является А. п. (обозначается ). Каждое А. п. имеет обратное преобразование, являющееся А. п. (обозначается ).

Пример. А. п. трехмерного пространства в себя является всякое преобразование , задаваемое формулами:

здесь , числа ,  произвольны, за исключением условия  (см. Детерминант).