НАБЛА-ОПЕРАТОР

НАБЛА-ОПЕРАТОР (-оператор, или оператор Гамильтона) — дифференциальный оператор, определенный на дифференцируемых функциях трех переменных, принимающих значения в множестве векторных полей трехмерного евклидова пространства. Н. о. имеет вид:

,

где  — единичные векторы положительного направления декартовых осей .

Важнейшие характеристики скалярных и векторных полей в евклидовом трехмерном пространстве просто и выразительно описываются в терминах Н. о. Так, градиент скалярного поля  равен:

;

дивергенция векторного поля  равна:

.

Ротор векторного поля  равен:

.

В написанных формулах «умножение» Н. о. на функцию , «скалярное» и «векторное умножение» Н. о. на  производится аналогично обыкновенному умножению вектора на число, скалярному и векторному произведению вектора на вектор с той только разницей, что «умножение» «координат» Н. о.  на функции является дифференцированием этих функций по соответствующему аргументу. Удобство этой аналогии видно из следующих вычислений:  («векторное произведение» двух «коллинеарных» векторов),  («смешанное произведение» трех «векторов», из которых два одинаковых).

Название Н. о. происходит от греч.  — арфа, форма которой напоминает символ .

  — буква финикийского алфавита, происхождение которой действительно связано с музыкальным инструментом типа арфы.

Н. о. введен английским математиком У. Р. Гамильтоном в 1853 г.