МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ — квадратные таблицы натуральных чисел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям.

История возникновения М. к. относится к глубокой древности. Наиболее ранние сведения о таких квадратах содержатся, по-видимому, в китайских книгах, написанных в IV—V вв. до н. э. Из дошедших до нас древних М. к. самым «старым» является таблица Ло-шу (2200 г, до н. э.).

Таблица Ло-шу состоит из 9 клеток: 3 строк и 3 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 9; в этом М. к. суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям равны одному и тому же числу 15.

Следующие па времени сведения дошли до нас из Индии и Византии. В Европе изображение М. к. встречается впервые в гравюре «Меланхолия» известного немецкого художника Альбрехта Дюрера (1514). Этот М. к. состоит из 16 клеток (4х4), заполненных натуральными числами от 1 до 16. Сумма чисел по каждой строке в нем, по каждому столбцу и каждой диагонали равна 34.

Числа 15 и 14, стоящие в нижней строке квадрата, означают дату 1514 — год издания этой гравюры А. Дюрера.

М. к. Дюрера замечателен еще другими свойствами: в нем число 34 выражает не только сумму чисел по каждой строке, каждому столбцу и каждой диагонали, а этому числу равна сумма чисел, стоящих в квадратах из четырех клеток, расположенных внутри М. к. и при четырех его вершинах. Такие М. к. следовало бы назвать супермагическими или сверхмагическими.

Способами составления М. к. занимались многие математики: в XVI в. — А. Ризе и М. Штифель, в XVII в. — А. Кирхер и Баше де Мезериак и др. Для составления М. к. с нечетным числом клеток существует очень простой общий способ. Для составления же М. к. с четным числом клеток способы уже значительно сложнее.

В настоящее время понятие М. к. обобщено и расширено в различных направлениях. В частности, под М. к. понимают квадратные таблицы, заполненные не обязательно первыми натуральными числами. Больше того, существуют М. к., в клетках которых помещены только простые числа, и притом различные.

Нетрудно заметить, что из любого М. к. можно получить бесконечное множество других М. к. путем умножения всех его чисел на один и тот же множитель или прибавления одного и того же числа к каждому числу М. к.

М. к. свое название магических (волшебных, таинственных) получили от арабов, которые усматривали в подобных числовых свойствах и сочетаниях нечто неземное и мистическое и принимали их за своего рода талисманы.

См. также: Многоугольные числа, Фигурные числа, Паскаля треугольник, Арифмомантия, Арифметическая прогрессия.