МНОГОУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА

МНОГОУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА — числа, связанные определенным образом с плоским многоугольником. Простейшими из М. ч. являются треугольные числа. Это числа последовательности

,

которые, начиная со второго, геометрически получаются из треугольника, вершины которого дают три точки (рис. 9, а) — треугольник с наименьшим числом точек, затем треугольник больший, стороны которого увеличены в 2 раза (6 точек), затем в 3 раза (10 точек) и т. д.

Квадратными числами будут числа последовательности  (рис. 9, б). Пятиугольными числами будут числа последовательности  (рис. 9, в).

Рис. 9

Таким образом, получают М. ч. различных порядков. Обозначается п-е q-угольное число символом . Оно определяется по формуле

.

Эту формулу можно истолковать еще и так:

,

где  — порядковый номер n-угольного числа,  — сумма первых  членов арифметической прогрессии, первый член которой равен нулю , а разность равна . М. ч. называются также полигональными числами.

Есть основание предполагать, что М. ч. возникли у вавилонян при расчетах мощения пола кирпичом. Из Вавилона М. ч. перешли к грекам (начиная с пифагорейцев). Диофант написал целую книгу о М. ч. (IV—III вв. до н. э.). Историки-математики утверждают, например, что треугольные числа были известны в Индии (во II в. до н. э.), в Китае (в 1309 г.).

М. ч. занимались многие математики: Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр, Гаусс и др.

См. также: Фигурные числа, Арифметический ряд.