АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ — алгебраическое многообразие размерности один. Главным бирациональным инвариантом А. к. является род. А. к. рода нуль называются рациональными А. к.

А. к. допускают параметризацию с помощью рациональных функций. А. к. рода 1 можно параметризировать эллиптическими функциями. Такие кривые называют эллиптическими. А. к., род которых превышает единицу, параметризуются автоморфными функциями.

Для плоских А. к., т. е. для таких, которые задаются одним алгебраическим уравнением от двух переменных , степень многочлена  называют порядком А. к. Плоская А. к. называется неприводимой, если многочлен  не разлагается на множители степени, большей нуля. В противном случае А. к. называется приводимой (над рассматриваемым полем). При этом А. к. является объединением двух А. к., имеющих уравнения , где .

Особой точкой А. к. называется точка , для которой ,  ( означают частные производные от многочлена  по переменным  соответственно). Строение А. к. вблизи особой точки существенно отличается от поведения А. к. в окрестности неособой точки.

Примеры. 1) А. к. рода нуль: а) окружность ; , , б) лемниската ; ; 2) А. к. рода один: .