АВТОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ

АВТОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ — аналитическая функция комплексного переменного , которая сохраняет свои значения, когда аргумент  подвергается дробно-линейным преобразованиям.

Более точно: пусть  аналитична в области ,  — подгруппа группы всех преобразований вида , преобразующих область  в себя. Функция  называется А. ф. относительно , если

.

Наиболее важными частными случаями А. ф. являются периодические функции (в этом случае подгруппа  состоит из всех преобразований вида ,  — комплексное число, ,  — плоскость комплексного переменного ), а также функции, определенные в полуплоскости  и не изменяющие своих значений под действием некоторой подгруппы  всех преобразований вида , сохраняющих .

Последний случай связан с интерпретацией геометрии Лобачевского (см. Клейна модель).

Теория А. ф. имеет приложение к различным вопросам алгебры, дифференциальных уравнений и др.