АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению. Иными словами, всякое уравнение вида

,

где  — многочлен от переменных , определяет (неявную) функцию , называемую А. ф. Важным частным случаем А. ф. являются: многочлены , функции, задаваемые формулами, в которых у выражается через  с помощью арифметических действий и операций извлечения корней различных степеней, например

.

Существуют А. ф., которые не выражаются упомянутым способом уравнения вида  вообще говоря, не могут быть разрешены относительно  в радикалах. Этот факт был установлен норвежским математиком Н. Абелем. Согласно Абелю, в уравнении  переменная  не может быть выражена через  с помощью арифметических операций и радикалов.

Рассматривают также А. ф. нескольких переменных. Функция  называется А. ф. нескольких переменных, если она удовлетворяет уравнению:

,

где ,  — многочлены от переменных . А. ф. являются многозначными функциями. Функции, не являющиеся А. ф., называются трансцендентными функциями. Примером трансцендентной функции является .

Множество А. ф. образует поле.