АРКТАНГЕНС

АРКТАНГЕНС — функция, обратная по отношению к тангенсу на промежутке . Обозначение функции A.: arctg. Область определения , область значений .

График А. представлен на рис. 11 жирной линией,  есть число (величина дуги или угла) из промежутка , тангенс которого равен числу .

Рис. 11

Функция  является обратной по отношению к функции , если значения  принадлежат промежутку ; в указанном промежутке функция  непрерывна и строго возрастает, следовательно, обратная ей функция  также непрерывна и строго возрастает.

Функция А. ограниченная и нечетная. Производная функции  равна:

А. можно представить в виде интеграла:

А. и арккотангенс того же аргумента  связаны зависимостью, аналогичной той, которая существует между арксинусом и арккосинусом одного и того же аргумента:

;

это тождество легко доказывается с помощью производной.

Примеры. 1) , ; 2) график функции  есть отрезок биссектрисы  первого и третьего координатных углов, концы которого с координатами , не принадлежат графику функции.

Иногда рассматривают многозначную, точнее, бесконечнозначную функцию Arctg, область определения которой удовлетворяет условию , а область значений связана с областью значений А. формулой: .

Лат. arcus — дуга (величина дуги).

См. также: Тангенс, Аркфункция, Обратная функция, Обратные тригонометрические функции, Обратное соответствие.