АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ — распространение функции, аналитической в некоторой области, на более широкую область. Если  — аналитическая функция в области  и область  имеет общую часть  с областью  (рис. 3, а), то может существовать только одна аналитическая в области  функция , принимающая в области  те же значения, что и  (т. е.  для всех точек  области ); функция  называется А. п. функции  в область  (наоборот,  есть А. п.  в область ).

Можно считать функции  и  частями одной аналитической в  функции , совпадающей с  в области  и с  в области ; эта функция  называется А. п. функции  на более широкую область  и обозначается снова символом .

Если  — А. п.  в область ,  — А. п.  в область ,  — А. п.  в область , то эта цепь А. п. функции  в совокупности даст А. п. на более широкую область ; область  (или даже ) может иметь общую часть  с областью  (рис. 3, б), но значения  в области  не обязаны совпадать со значениями , поэтому А. п. функции  приводит к понятию многозначной аналитической функции, так как продолженная функция  может быть двузначной в области  (а при дальнейших А. п. даже бесконечнозначной).

Рис. 3

А. п. функции  можно строить следующим образом. Пусть дан элемент аналитической функции , т. е. дан степенной ряд , представляющий  в круге ; функция  в окрестности точки  внутри круга  представляется степенным рядом , который имеет круг сходимости  (не лежащий, быть может, целиком в круге ) и является А. п.  на  (рис. 3, в); этот степенной ряд называется А. п. заданного ряда.

Таким образом, исходный элемент функции  определяет бесконечно много новых элементов (с центрами внутри ), каждый из которых может быть в свою очередь принят за исходный для дальнейшего продолжения . Если этот процесс продолжен неограниченно, то получается полная аналитическая функция  в смысле Вейерштрасса, вообще говоря, многозначная, определенная в некоторой области , называемой областью существования полной аналитической функции .

Примеры. 1) При А. п. функции  действительного переменного получается двузначная функция , область существования которой вся плоскость , за исключением бесконечно удаленной точки и точки ; 2) при А. п.  получается бесконечнозначная функция .