АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — часть математики, в которой исследуются геометрические образы средствами алгебры на основе метода координат.

Творцами А.г. являются французские ученые Ферма и Декарт, хотя зачатки идеи координат встречались у древних математиков. Так, египтяне при выполнении строительных работ пользовались параллельными отрезками (координатами), греческие же астрономы Гиппарх (II в. до н. э.) и Птолемей (II в. н. э.) употребляли сферические координаты (широту и долготу) для определения положения различных точек земной поверхности. Отсутствие буквенной символики и завершенного представления о действительном числе служило тормозом в развитии координатного метода у древних математиков.

Буквенная символика, созданная французским ученым Виетом, облегчила двум другим французским ученым Ферма и Декарту, работавшим независимо друг от друга, оформление и определенное завершение А. г. на плоскости в XVII в. В А. г. на плоскости рассматриваются две основные задачи: 1) как, зная геометрические свойства линии (как множества точек), найти ее уравнение, т. е. уравнение, связывающее координаты ее точек; 2) зная уравнение линии, связывающее ее координаты  и , найти геометрические свойства этой линии. Например, уравнение окружности с центром в точке  и радиусом  в прямоугольной системе координат имеет вид: , т. е. это будет уравнение второй степени, в котором отсутствует член с произведением координат  и  и коэффициенты при  и  равны. Верно и обратное утверждение: если имеется уравнение второй степени относительно координат  и , в котором отсутствует член с произведением координат  и  и коэффициенты при  и  равны, то это уравнение является уравнением окружности (действительной или мнимой). Так, уравнение  есть уравнение окружности с центром в точке (2,0) и радиусом . По виду уравнения можно заключить, что окружность проходит через начало координат, так как координаты начала удовлетворяют этому уравнению.

Идея метода координат на плоскости заключается в том, что положение всякой точки на плоскости определяется пересечением двух линий, каждая из которых принадлежит семейству координатных линий, образующих координатную сетку такую, что через каждую точку плоскости проходит одна и только одна координатная линия, принадлежащая каждому из двух семейств. Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками евклидовой плоскости и упорядоченными парами чисел  и  — координатами этой точки на плоскости. Аналогично устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством точек трехмерного евклидового пространства и упорядоченными тройками действительных чисел  — координатами точки, определяющими ее положение в пространстве.

Хотя термин А. г. прочно удерживается, однако правильнее было бы за этой геометрией закрепить термин «координатная геометрия», что больше бы отвечало содержанию А. г., так как для А. г. характерным является не только и не столько приложение алгебры к геометрии, а следовательно приложение метода анализа, сколько применение метода координат.

Знаменитый мыслитель Декарт понимал более, чем его современник Ферма, ограниченность синтетического метода в геометрии древних математиков. Декарт ввел в математику понятие переменной величины, создал более удачную символику по сравнению с Ферма, установил тесную связь пространства и числа, алгебры и геометрии. Поэтому часто именно Декарта считают создателем, творцом А. г. По словам Ф. Энгельса, декартова переменная величина явилась «поворотным пунктом в математике».

Однако создатель А. г. Декарт не смог провести «арифметизацию» геометрии в полной мере: он не смог распространить метод координат на пространство, а ограничился изучением только плоских кривых.

В конце XVII и в продолжение XVIII в. координатный метод был перенесен на пространство в основном работами Клеро и Эйлера. Затем во второй половине XIX в. в связи с бурным развитием физики в геометрии появляются новые понятия: вектор, тензор и др. Для описания материальной системы требуется большее число параметров, чем три. В математике, теории относительности, в квантовой механике состояние системы определялось в четырехмерном, многомерном и вообще бесконечномерном пространствах (см. Функциональное пространство).

См. также: Координаты, Криволинейные координаты, Барицентрические координаты, Конические сечения, Аффинная геометрия.