КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ — линии пересечения конической поверхности (направляющая которой — окружность) с плоскостями, не проходящими через ее вершину.

Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конической поверхности, то К. с. Есть эллипс, в частности круг (рис. 67, а).

Если секущая плоскость параллельна только одной из образующих конической поверхности, то К. с. Есть парабола (рис. 67, б).

Если секущая плоскость параллельна двум образующим конической поверхности, то К. с. Есть гипербола (рис. 67, в).

Рис. 67

В случае эллипса и параболы секущая плоскость пересекает только одну полость конической поверхности, а в случае гиперболы секущая плоскость пересекает обе полости конической поверхности.

К. с. иначе называют кривыми 2-го порядка. К.с. исследовались уже математиками Древней Греции (например, Менехм в IV в. до н. э. решал задачу об удвоении куба с помощью К. с.). Наиболее полное исследование К. с. было проведено Аполлонием Пергским (III в. до н. э.).

К. с. находят применение в технике, например в эллиптических зубчатых колесах, в прожекторных установках (параболические зеркала) и т. д. Планеты солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце; кометы движутся как по эллипсам, так и по параболам и гиперболам.

Исследование К. с. с помощью сфер, вписанных в коническую поверхность, было проведено бельгийским геометром Ж. Данделеном (XIX в.). Уравнение К.с. в полярных координатах имеет вид:

,

где  — фокальный радиус-вектор;  — фокальный параметр;  — эксцентриситет;  — полярный угол. Если , то это уравнение определяет эллипс, при этом угол  изменяется от  до . Если , то это уравнение определяет параболу; при этом угол  изменяется от 0 до . Если , то это уравнение определяет гиперболу; при этом для угла , изменяющегося от  до , (где  — угол между асимптотами ), получим правую ветвь гиперболы, а для углов , изменяющихся от  до , получим левую ветвь гиперболы.

Названия конических сечений (эллипс, парабола и гипербола) связаны с геометрическими построениями древних геометров.

Рис. 68

Пусть  — диаметр эллипса (рис. 68), ,  — перпендикуляр к ; тогда квадрат, построенный на , будет равен площади прямоугольника :

, т.е.  .

Положив , , , получим:

 или .

Аналогично для гиперболы будем иметь:

 или

В случае эллипса в формуле стоит знак минус, т. е. площадь прямоугольника используется с недостатком (греч.  — недостаток). В случае гиперболы в формуле стоит знак плюс, т. е. площадь прямоугольника  используется с избытком (греч. — превышение, избыток).

Если имеет место равенство площади квадрата и площади прямоугольника  (в формуле нет ни минуса, ни плюса — ни избытка, ни недостатка), т.е. , то кривая (коническое сечение) называется параболой ( — приложение площадей, приравнивание).