КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА в заданном базисе линейного пространства. Пусть  — вектор линейного пространства  и  — базис в . Вектор  единственным образом представим в виде

,

при этом числа  называются К. в.  в заданном базисе.

Если  — невырожденное линейное преобразование пространства , то векторы  составляют базис в  (вообще говоря, не совпадающий с базисом ). В этом новом базисе К. в.  описываются формулами, где

                  (*)

и коэффициенты  являются элементами матрицы линейного преобразования , обратного к , в базисе  (см. Матрица линейного преобразования). Соотношения (*) означают, что К. в. преобразуются с помощью матрицы обратной и транспонированной по отношению к матрице, задающей изменение векторов базиса.

При истолковании векторов как упорядоченных наборов чисел сами эти числа можно рассматривать как К. в. в некотором базисе. Следующая формула придает точный смысл этому утверждению:

.

При рассмотрении вектора как направленного отрезка К. в.  называют числа , где ,  ( соответственно означают координаты точек  в выбранной системе координат.

Действия над векторами удобно описываются с помощью К. в. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при умножении вектора на число все К. в. умножаются на это же число.

См. также: Скалярное произведение, Векторное произведение.