КРИВИЗНА

КРИВИЗНА: 1°. К. плоской кривой — величина, характеризующая степень отклонения ее от прямой в окрестности некоторой точки . Направление кривой в точке  можно охарактеризовать углом , составленным касательной к кривой в точке  с осью  (рис. 80). Скорость изменения угла  при равномерном движении точки  по кривой называется К. кривой в точке .

Рис. 80

Угол  можно рассматривать как функцию от длины дуги  где  — фиксированная (начальная) точка, при этом К. кривой в точке запишется в виде:

,

где  — угол между касательными к кривой в точках  и ,  — длина дуги .

К. окружности , т. е. обратна радиусу окружности.

В случае произвольной плоской кривой (при определенных условиях дифференцируемости) в любой точке  можно построить так называемую соприкасающуюся окружность (круг К.), которая наиболее тесно примыкает к кривой в точке  по сравнению с другими окружностями, касающимися кривой в той же точке . Центр соприкасающейся окружности и ее радиус называются центром К. и радиусом К.

К. и радиус К.  связаны соотношением . Если кривая задана в прямоугольных декартовых координатах , то ее К. вычисляется по формуле:

.

Если знак абсолютного значения не пишут, то получают К. со знаком + или —, в зависимости от выпуклости или вогнутости кривой в точке . К. пространственной кривой определяется аналогичным образом. Если уравнение кривой имеет вид , где  — длина дуги кривой, то К. измеряют пределом отношения приращения единичного касательного вектора  к приращению длины дуги  при . Такой предел (существующий, когда  дважды дифференцируема) есть вектор, коллинеарный единичному вектору нормали к кривой, т.е.

.

Здесь нормаль  выбирается так, что .

Число  называется К. кривой в точке .

2°. К. риманова пространства  в двумерном направлении, определяемом бивектором , — величина

                 (*)

здесь  — метрический тензор (см. Риманово пространство),  — тензор кривизны .

Параллельный перенос касательного в точке  пространства  вдоль бесконечно малого параллелограмма, определяемого бивекторами порождает линейное преобразование пространства . В случае двумерной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве имеет место следующее: чем больше гауссова кривизна поверхности, тем больше угол между вектором  (переносимым параллельно вдоль бесконечно малого параллелограмма) и вектором ; при этом гауссова кривизна равна правой части формулы (*).

Это обстоятельство объясняет геометрический смысл формулы (*) в общем случае риманова пространства (см. Риманово пространство).