КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО

КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО — в первоначальном представлении — выражение вида , где ,  — некоторый символ (обычно ). Множество всех К. ч. (поле К. ч.) обозначают . Сложение, умножение и деление К. ч. задается формулами:

,

,

.

В К. ч.  число  называется действительной его частью (обозначается ), а число  называется мнимой частью (обозначается ).

Чисто мнимым называется К. ч. , такое, что .

Вещественные числа являются частным случаем К. ч. (когда коэффициент при  равен нулю). Хотя К. ч. не выражает количества, как это имеет место у действительных чисел, применение их бывает полезно в решении задач, составленных в терминах действительных чисел, например задач о прохождении тока через проводник, о профиле крыла самолета и др.

Не менее важным является применение К. ч. для чисто математических задач. Так, нахождение действительных корней кубического уравнения требует действий с К. ч. Исторически К. ч. были введены в связи с решениями уравнений второй степени. Одним из корректных определений К. ч. является следующее: К. ч. есть упорядоченная пара действительных чисел . Сложение, умножение и деление определяется формулами:

           (*)

Пара (0; 1) называется мнимой единицей и обозначается символом . Пара (1; 0) играет роль единицы при умножении К. ч. Из формулы (*) вытекает, что . Действия над К. ч. удовлетворяют обычным законам коммутативности, дистрибутивности и ассоциативности (как и в случае действительных чисел). Множество пар вида  образует подполе, изоморфное полю .

Одним из важнейших свойств К. ч. является то, что любой многочлен степени  с комплексными коэффициентами имеет ровно  комплексных корней, считая их кратность. Это следует из основной теоремы алгебры (см. Алгебры основная теорема) и Безу теоремы.

Иногда удобно записывать К. ч. в тригонометрической форме:

,

 , ,  для  и ,  для ; при , , если , и , если . Число  называется модулем К. ч., а  — его аргументом. В такой форме очень удобно производить умножение К. ч.: при умножении К. ч. их модули перемножаются, а аргументы складываются. Из этого правила вытекает формула Муавра:

.

К. ч. часто изображают векторами на комплексной плоскости. При сложении К. ч. их векторы складываются по правилу параллелограмма. К. ч. в тригонометрической форме тесно связаны с показательной функцией мнимого аргумента; имеет место формула Эйлера:

;

с ее помощью определяются возведение в степень К. ч., логарифмы К. ч. и др.

К. ч. образуют алгебраически замкнутое поле (см. Поле и Алгебраически замкнутое поле). Поле К. ч. является расширением поля действительных чисел путем присоединения к последнему элемента  такого, что .