КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение  области  риманова пространства  на область  риманова пространства ; , взаимно однозначное, гладкое и обладающее свойством: угол между любыми двумя кривыми в  равен углу между образами этих кривых при отображении .

Особое теоретическое и прикладное значение имеют случаи двумерных римановых пространств, двумерных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, а также областей, расположенных в двумерной евклидовой плоскости.

Важным примером К. о. является стереографическая проекция, отображающая двумерную сферу на двумерную плоскость, пополненную одной бесконечно удаленной точкой.

При рассмотрении К. о. двух областей, принадлежащих евклидовым плоскостям , удобно считать, что точки этих плоскостей изображают комплексные числа (это значит, что точке  плоскости  соответствует комплексное число , а точке  плоскости  — комплексное число ).

Рис. 70

Рис. 71

Аналитическая функция , однолистная в области  плоскости комплексного переменного , задает К. о. области  на область  плоскости . Обратно: любые две односвязные области  и , отличные от полной плоскости или плоскости с выключенной точкой, могут быть конформно отображены друг на друга с помощью аналитической функции, которая определится однозначно, если потребовать, чтобы данной точке из  и данному направлению в ней соответствовала определенная точка из  с заданным в ней направлением. Эта важнейшая теорема теории К. о. была доказана Б. Риманом.

Выше имелись в виду К. о. первого рода, т. е. есть такие К. о., при которых сохраняется направление обхода (по замкнутой кривой и ее образу). К. о., при котором направление обхода меняется на противоположное, называется К. о. второго рода. К. о. второго рода задается функцией , сопряженной с аналитической функцией  (рис. 70, а, б; 71, а, б).