КЛЕТОЧНОЕ РАЗБИЕНИЕ

КЛЕТОЧНОЕ РАЗБИЕНИЕ хаусдорфова топологического пространства  — разбиение пространства  на непересекающиеся подмножества, удовлетворяющие следующим свойствам:

1. Каждое такое подмножество — клетка.

2. Граница каждой n-мерной клетки разбиения принадлежит -мерному остову, т. е. совокупности точек всех клеток разбиения, размерности которых меньше, чем .

3. Подмножество пространства  замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с замыканием любой клетки.

4. Каждая клетка содержится в замкнутом множестве, являющемся объединением конечного числа клеток.

Пространство , допускающее К. р., называется клеточным полиэдром или клеточным комплексом. Тот же смысл имеет термин -комплекс, заимствованный из зарубежной литературы ( и  — начальные буквы слов Closure-finite, Weak topology).

Всякое подмножество клеток, содержащееся в данном К. р., называется подкомплексом, если объединение всех точек рассматриваемых клеток является замкнутым в . Подкомплекс, очевидно, является комплексом (характеристические отображения клеток подкомплекса считаются совпадающими с соответствующими отображениями клеток комплекса). В частности, множество всех клеток К. р. размерности меньшей или равной  является подкомплексом и называется m-мерным остовом К. р.

К. р. задает граничный оператор, с помощью которого определяются Бетти группы пространства .

К. р. является удобной моделью пространства  при исследовании гомотопических свойств пространства .

Примеры

1. Сфера . К. р. состоит из двух клеток  размерности 2 и 0 соответственно. Клетка  является гомеоморфным образом внутренности круга  — множеством всех точек сферы, за исключением ее северного полюса. Этот гомеоморфизм можно задать, например, с помощью стереографической проекции;  — нульмерная клетка, состоящая из единственной точки — северного полюса сферы.

2. Двумерное вещественное проективное пространство . Моделью  будем считать множество точек сферы  с отождествлением . Действительно,  — множество прямых в трехмерном пространстве, проходящих через начало координат. Каждой такой прямой можно поставить в соответствие пару точек на сфере (точки пересечения прямой и сферы). К. р. состоит из трех клеток: . Клетка  — верхняя половина сферы (гомеоморфизм открытого круга и верхней половины сферы предполагается произвольным, но фиксированным), Граница  клетки  принадлежит одномерному остову . Этот последний является окружностью  с отождествлением . Клетка  состоит из точек  окружности, для которых ; клетка  — точка , определяемая тройкой (0; 1; 0) или (0; — 1; 0). Осталось описать характеристическое отображение клетки  на границе. Поскольку одномерный остов является окружностью, имеем:

.

Можно показать, что это отображение устроено так. Пусть  — точки единичной окружности комплексной плоскости . Тогда .