КОСИНУС

КОСИНУС — одна из тригонометрических функций, обозначаемая символом  и определяемая следующим образом. Пусть в ориентированной плоскости выбрана прямоугольная декартова система координат  (рис. 76, б) и угол  величины , вершина которого совпадает с началом координат, неподвижная сторона его совпадает с лучом , а подвижная сторона  составляет угол  с осью . К. величины угла  называется отношение  или , где  — абсцисса переменной точки  окружности; если длина радиуса окружности равна 1, то К. угла  есть абсцисса точки  единичной окружности.

Рис. 76

К. угла  есть функция величины этого угла. График К. показан на рис. 77. Наименьший положительный период К. , т.е. , где .

Рис. 77

Областью определения К. является вся числовая прямая, радианная мера угла  изменяется от  до ; областью значений К. является промежуток (сегмент) . К. — функция четная, ограниченная и периодическая.

С возрастанием величины угла  от 0 до 90° К., как и все тригонометрические кофункции, убывает (от 1 до 0).

Косинус и синус связаны тождеством (формулой) , К. и секанс связаны равенством .

Производная К. вычисляется по формуле:

.

К. разлагается в сходящийся на всей числовой прямой степенной ряд:

.

Функция, обратная К., называется арккосинусом.

Если величину угла  рассматривать в промежутке от 0 до 90°, т. е. если угол острый, то К. величины острого угла можно определить как отношение длины катета, прилежащего к углу , к длине гипотенузы (из прямоугольного треугольника  рис. 76, б).

К. и синус комплексного аргумента  связаны с показательной функцией формулой Эйлера:

,

из которой нетрудно получить выражения для  и  (где  — действительное число), зависящие от показательной функции чисто мнимого аргумента:

, .

Эти формулы дают возможность определить синус и косинус комплексного аргумента; так, положив  (чисто мнимое число), получим:

,

где  — гиперболический косинус. Имеет место также равенство . Для К. комплексного аргумента справедлива формула:

.

Если , то из последней формулы получим:

;

т. е. К. комплексного аргумента может быть по модулю больше единицы. Для комплексного аргумента К. может принимать любые значения, большие 1.

Лат.: «co» (сокращение от слова complementum) — дополнение + синус, т. е. функция дополнительного угла, или функция, сходная по названию с синусом.

См. также: Синус, Тангенс, Котангенс, Тригонометрические функции, Трансцендентные функции, Арккосинус.