КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ

КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ дифференциальных уравнений — изучение свойств решений дифференциальных уравнений без нахождения самих решений. Так как в большинстве случаев решение в явном виде найти невозможно, ясно, что К. т. д. у. имеет большое значение. Основателями К. т. д. у. являются русский математик А. М. Ляпунов и французский математик А. Пуанкаре. В дальнейшем большой вклад в развитие К. т. д. у. внесли советские математики А. А. Андронов, Н. Н. Боголюбов, Н. М. Крылов, В. В. Немыцкий, И. Г. Петровский, В. В. Степанов и др.

Основные разделы К. т. д. у.: линейные проблемы, нелинейные проблемы и зависимость решений от параметров.

Линейные проблемы. Рассматривается система линейных дифференциальных уравнений:

или одно уравнение:

.

В К. т. д. у. изучается вопрос об асимптотическом поведении решений таких уравнений при . В зависимости от коэффициентов получаются оценки роста решений. Выводятся критерии устойчивости решений. Первым их изучал А.М.Ляпунов. К. т. д. у. занимается также исследованием нулей решений линейных дифференциальных уравнений (число их, чередование нулей линейно-независимых решений).

Нелинейные проблемы. Рассматривается система уравнений:

 ,

Наиболее важными являются вопросы об устойчивости решений по Ляпунову и о существовании периодических решений. При решении этих вопросов в основном применяются методы, разработанные Ляпуновым. Подробно изучено поведение решений около особой точки. Важной задачей является исследование интегральных кривых в целом, а не в окрестности особой точки.

Зависимость решений от параметров. Исследуется вопрос о сохранении периодических решений при изменении параметров, от которых зависят правые части. Большое число работ посвящено исследованию уравнений с малыми параметрами при старших производных.