КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ над ассоциативно-коммутативным кольцом  с единицей е можно построить (для одного неизвестного) как множество всевозможных счетных последовательностей

, ,                 (*)

в которых лишь конечное число  отлично от нуля. Операции сложения и умножения вводятся по определению как:

, где  ( или ).

Легко проверяется, что тем самым построено ассоциативно-коммутативное кольцо, которое и называется К. м. от одного неизвестного (или от одной переменной) над кольцом  и обозначается . Построенное К. м. содержит подкольцо, изоморфное кольцу . Это подкольцо состоит из последовательностей вида  для всех . Если идентифицировать такую последовательность с  и обозначить последовательность  через , то многочлен (или полином) (*) можно представить в привычном виде:

,

где  — последний, отличный от нуля, элемент последовательности (*). Элементы  () называются коэффициентами многочлена,  — называется старшим коэффициентом, а  — свободным членом. Индекс старшего коэффициента  многочлена  называется степенью многочлена и часто обозначается через . В частности,  для всех , кроме . Многочлен 0 считается многочленом без степени или же полагают . Справедливы следующие соотношения:

, .

Если  — кольцо без делителей нуля, то и  — кольцо без делителей нуля, т. е. целостное кольцо.

Важность К. м. определяется рядом факторов и в том числе тем, что в произвольном ассоциативно-коммутативном кольце  для любого подкольца  и любого  подкольцо , порожденное этим подкольцом  и элементом , будет гомоморфным образцом К. м. .

К. м. от  неизвестных ( переменных)  для любого  строится индуктивно как , где .