КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ точки на поверхности (или точки многообразия).

Пусть  — поверхность (многообразие),  — точка на  и  — окрестность точки  на поверхности (в многообразии) . Пусть  — гомеоморфное (см. Гомеоморфизм) отображение на внутренность квадрата , плоскости переменных . При этом каждой точке  соответствуют два вещественных числа — координаты точки  в плоскости переменных . Эти числа называются К. к. точек . Отображение , определяющее К. к. точек в , задает, как говорят, локальную систему К. к. в , или координатную карту (см. Карта).

Если поверхность  расположена в евклидовом (или аффинном) пространстве, то часто дополнительно требуют, чтобы функции, выражающие координаты точки  через координаты точки  в евклидовом пространстве, т.е. , , обладали бы той или иной степенью гладкости. То же требуется и от функций ; ; , задающих обратное отображение  (см. Гладкое отображение).

К. к, на поверхности определяют двупараметрическое семейство линий в окрестности  на поверхности

,

(линии  и линии ). При этом каждая линия  пересекается с каждой линией  в одной точке поверхности.

Аналогично определяется локальная система координат в окрестности точки многообразия, в частности в окрестности неособой точки многомерной поверхности.

Введение К. к. на поверхности позволяет привлечь к изучению геометрических свойств поверхности методы дифференциальной геометрии, а также упрощает вычисление интегралов.

В некоторых случаях возможно распространение К. к. с окрестности  на более широкое множество точек. Подробнее об этом см. Многообразие.

Примеры.

1. Географическая широта  и долгота  точки на поверхности сферы (точнее, на подмножестве  сферы : , ) суть К. к.

2. В области , ; , где ,  — вещественные числа, такие, что ,  плоскости переменных ; отображение , определенное формулой , задает локальную систему К. к. (полярные координаты).

Эту систему координат распространяют на всю плоскость , оговаривая, во-первых, что полярные координаты точки (0; 0) не определены (,  не определено) и, во-вторых, что одна и та же точка плоскости определяется не одним, а бесконечным множеством значений полярного угла  . Так что в строгом смысле слова полярные координаты не являются К. к. для всей плоскости переменных.

Название К. к. связано с тем обстоятельством, что координатные линии  на поверхности (или даже плоскости) являются кривыми линиями в отличие, например, от аффинных координат плоскости, координатные линии которых — прямые.