КОМПЛЕКСНАЯ СТРУКТУРА

КОМПЛЕКСНАЯ СТРУКТУРА. Всякое n-мерное линейное пространство  над полем комплексных чисел  порождает 2n-мерное линейное пространство  над полем вещественных чисел  следующим образом. Пусть  (*) —базис в . Рассмотрим векторы  (**), где . Эти векторы линейно независимы над полем вещественных чисел , и каждый вектор из  единственным образом выражается через векторы (**) в виде линейной комбинации с вещественными коэффициентами. Таким образом, линейная оболочка векторов (**) над полем  является 2n-мерным вещественным линейным пространством.

В некоторых задачах геометрии требуется по заданному 2n-мерному вещественному линейному пространству  построить n-мерное комплексное линейное пространство , такое, чтобы порождаемое этим  вещественное 2n-мерное пространство совпадало бы с исходным . Если такое  найдено, то говорят, что исходное  обладает К. с.

Вычисление К. с. для данного  может быть проведено средствами линейной алгебры. Именно, пусть  — линейное преобразование , удовлетворяющее условию , где  — тождественное преобразование. Преобразование  имеет два собственных значения  и . Пусть    линейно независимых над  векторов из , принадлежащих собственному значению  (такие векторы существуют). Положим далее ,  (***). Этим определено умножение каждого вектора из линейной вещественной оболочки векторов (***) на , а следовательно, по линейности, и на любое комплексное число. Комплексная линейная оболочка векторов (***) является искомым .

Всякая К. с. может быть построена с помощью преобразования  указанным выше способом. В этом смысле часто К. с. называют само преобразование .

Говорят, что К. с. инвариантна относительно множества  вещественных преобразований , если  для всех . Преобразования  при этом можно рассматривать как линейные преобразования комплексного линейного пространства , соответствующего преобразованию .