- К-ТЕОРИЯ
- КАВАЛЬЕРИ ПРИНЦИП
- КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
- КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
- КАНТОРА АКСИОМА
- КАНТОРА-БЕРНШТЕЙНА ТЕОРЕМА
- КАНТОРОВО МНОЖЕСТВО
- КАППА
- КАРДАНО ФОРМУЛА
- КАРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО
- КАРДИОИДА
- КАРНО ТЕОРЕМА
- КАРТА
- КАСАНИЕ
- КАСАТЕЛЬНАЯ
- КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
- КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- КАССИНИ ОВАЛ
- КАТЕГОРИЯ
- КАТЕНОИД
- КАТЕТ
- КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ
- КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ
- КВАДРАНТ
- КВАДРАТ
- КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА
- КВАДРАТИЧНАЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ
- КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
- КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
- КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ
- КВАДРАТИЧНОЕ СРЕДНЕЕ
- КВАДРАТИЧНЫЕ ЧИСЛА
- КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ
- КВАДРАТИЧНЫЙ НЕВЫЧЕТ
- КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА
- КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ
- КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
- КВАДРАТРИСА
- КВАДРАТУРА
- КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
- КВАДРИЛЛИОН
- КВАДРИРУЕМАЯ ОБЛАСТЬ
- КВАЗИГРУППА
- КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
- КВАНТОР
- КВАТЕРНИОН
- КЕПЛЕРА УРАВНЕНИЕ
- КИБЕРНЕТИКА
- КЛАВИШНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА
- КЛАСС
- КЛЕЙНА ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
- КЛЕРО УРАВНЕНИЕ
- КЛЕТКА
- КЛЕТОЧНОЕ РАЗБИЕНИЕ
- КЛЕТОЧНЫЙ КОМПЛЕКС
- КЛЕТОЧНЫЙ ПОЛИЭДР
- КЛОТОИДА
- КОВАРИАНТНОСТЬ И КОНТРАВАРИАНТНОСТЬ
- КОДИРОВАНИЕ
- КОЛЕБАНИЕ ФУНКЦИИ
- КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО
- КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ
- КОЛЛИНЕАЦИЯ
- КОЛОГАРИФМ
- КОЛЬЦО
- КОЛЬЦО ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
- КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
- КОЛЬЦО С ЕДИНИЦЕЙ
- КОМБИНАТОРИКА
- КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
- КОММУТАНТ
- КОММУТАТИВНАЯ ГРУППА
- КОММУТАТИВНОЕ КОЛЬЦО
- КОММУТАТИВНОСТЬ
- КОММУТАТОР
- КОМПАКТ
- КОМПАКТНОСТЬ
- КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ
- КОМПЛЕКС
- КОМПЛЕКС ПРЯМЫХ
- КОМПЛЕКСНАЯ СТРУКТУРА
- КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ
- КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА
- КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО
- КОМПОЗИЦИЯ (СУПЕРПОЗИЦИЯ) ОТОБРАЖЕНИЙ
- КОМПОНЕНТА
- КОНВЕНЦИОНАЛИЗМ
- КОНГРУЭНТНОСТЬ
- КОНГРУЭНЦИЯ
- КОНЕЧНАЯ ГРУППА
- КОНЕЧНООПРЕДЕЛЕННАЯ ГРУППА
- КОНЕЧНОПОРОЖДЕННАЯ (УНИВЕРСАЛЬНАЯ) АЛГЕБРА
- КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ФОРМУЛА
- КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ
- КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
- КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
- КОНОИД
- КОНСЕКВЕНТ
- КОНСТАНТА
- КОНСТРУКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
- КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
- КОНТИНУУМ
- КОНТИНУУМ-ПРОБЛЕМА
- КОНТРАВАРИАНТНОСТЬ
- КОНТРАГРЕДИЕНТНОСТЬ
- КОНТРПАРАЛЛЕЛОГРАММ
- КОНУС
- КОНФИГУРАЦИЯ
- КОНФОКАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
- КОНФОРМНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- КОНФОРМНАЯ ГРУППА
- КОНФОРМНАЯ СВЯЗНОСТЬ
- КОНФОРМНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
- КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
- КОНФОРМНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ ГЕОМЕТРИЯ
- КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ ПРОСТРАНСТВО
- КОНХОИДА
- КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОКРУЖНОСТИ
- КОНЪЮНКЦИЯ
- КООРДИНАТНАЯ ОКРЕСТНОСТЬ
- КООРДИНАТНЫЕ ВЕКТОРЫ
- КООРДИНАТЫ
- КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
- КОРЕНЬ ИЗ ЧИСЛА
- КОРЕНЬ МНОГОЧЛЕНА
- КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
- КОРНЯ СПИРАЛЬ
- КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ОТНОШЕНИЕ
- КОРРЕЛЯЦИЯ
- КОРТЕЖ
- КОСЕКАНС
- КОСЕКАНСОИДА
- КОСИНУС
- КОСИНУС ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ
- КОСИНУС-ВЕРЗУС
- КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА
- КОСИНУСОИДА
- КОСОСИММЕТРИЧЕСКАЯ МАТРИЦА
- КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
- КОСОСИММЕТРИЧНОСТЬ
- КОСОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
- КОТАНГЕНС
- КОТАНГЕНСОИДА
- КОТЕСА ФОРМУЛА
- КОХЛЕОИДА
- КОШИ ЗАДАЧА
- КОШИ КРИТЕРИЙ
- КОШИ-БУНЯКОВСКОГО НЕРАВЕНСТВО
- КОШИ-РИМАНА УРАВНЕНИЯ
- КОЭФФИЦИЕНТ
- КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
- КРАЙНИЕ ЧЛЕНЫ
- КРАМЕРА ПРАВИЛО
- КРАТНАЯ ПРОПОРЦИЯ
- КРАТНОЕ
- КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
- КРАТНЫЙ КОРЕНЬ
- КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- КРИВИЗНА
- КРИВИЗНЫ ТЕНЗОР
- КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ
- КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
- КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
- КРИСТОФФЕЛЯ СИМВОЛЫ
- КРИТЕРИЙ
- КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА
- КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ ТЕОРЕМА
- КРУГ
- КРУГ КРИВИЗНЫ
- КРУГ СХОДИМОСТИ
- КРУГЛЫЕ ТЕЛА
- КРУГЛЫЙ КОНУС
- КРУГЛЫЙ ЦИЛИНДР
- КРУГОВАЯ ТОЧКА
- КРУГОВЫЕ ФУНКЦИИ
- КРУЧЕНИЕ
- КУБ
- КУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА
- КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
- КЭЛИ АЛГЕБРА
К-ТЕОРИЯ
К-ТЕОРИЯ — ветвь алгебраической топологии, начало и бурное развитие которой относится к последним двум десятилетиям.
Исходным объектом этой теории является
векторное расслоение над конечным клеточным комплексом. Пусть и
— два векторных расслоения над
СW-комплексом. Эти расслоения
(пучки) называются стабильно эквивалентными, если существует такое натуральное
число
, что расслоения
и
эквивалентны как
векторные расслоения. Здесь
,
означают векторные расслоения, равные суммам
Уитни расслоений
и
с тривиальным
векторным расслоением размерности
.
Множество классов эквивалентных
векторных расслоений над , факторизованное по отношению стабильной
эквивалентности, порождает кольцо (над целыми числами). Его обозначают
. Операция сложения элементов
порождается
суммой Уитни расслоений
—
представителей классов стабильно эквивалентных пучков
.
Корректность операции вычитания
элементов обусловлена
следующим фактом из теории векторных расслоений: для каждого расслоения
над
существует такое расслоение
, что сумма Уитни
является
тривиальным векторным расслоением
(т. е. тривиальным расслоением размерности
) над
. При
и
(волна над
, означает класс стабильной эквивалентности,
соответствующий
).
Умножение элементов из порождено тензорным умножением
векторных расслоений.
Описанное построение кольца называется
конструкцией Гротендика. Идея этой конструкции лежит в основании К.т. В
дальнейшем описании К. т. ограничимся случаем комплексных векторных расслоений
— комплексная К. т.
Фундаментальным фактором этой теории
является периодичность Р. Ботта. Теорема Ботта о периодичности устанавливает
изоморфизм как аддитивных групп, т. е.
взаимно однозначное соответствие элементов
,
,
сохраняющее
операцию сложения. Здесь
означает двойную
надстройку над пространством
.
Пусть , где
означает множество
элементов
размерности нуль (
,
). При этом
(с учетом изоморфизма Ботта)
оказывается кольцом, закон умножения в котором удовлетворяет условию
,
,
, здесь
.
Каждое векторное расслоение размерности
над
удобно описывается с
помощью так называемого характеристического отображения:
, где
—
универсальное пространство — множество n-мерных
плоскостей в N-мерном
эрмитовом линейном пространстве, проходящих через начало координат. (Чему
равно
—
несущественно, важно только, что
велико.)
Гомотопический класс
характеристического отображения определяет расслоение однозначно с точностью до
эквивалентности. Топологически пространство
хорошо изучено. Его кольцо когомологий
изоморфно кольцу симметрических многочленов от
переменных
, каждому из которых приписана
степень два. Образующие этого кольца — элементарные симметрические полиномы
— порождают классы
когомологий пространства
по формуле
,
где
антиотображение когомологий соответствует характеристическому отображению
. Элемент
называется k-м классом Черна
расслоения
.
В алгебре когомологий пространства над полем
действительных чисел имеется замечательный элемент
(здесь
— полиномы
Ньютона, они являются многочленами от элементарных симметрических полиномов
, так что в самом
деле принадлежат алгебре когомологий пространства
с вещественными коэффициентами).
Элемент
порождает
элемент
в алгебре
когомологий пространства
по формуле:
.
При этом называется характером Черна расслоения
.
Характер Черна задает отображение
.
Это отображение индуцирует отображение
(*)
При
этом элементам из соответствуют
четномерные когомологии из
, а элементам из
— нечетномерные когомологии из
. Это отображение
является гомоморфизмом колец
и
.
Резюмируем и уточним вышесказанное.
Каждому CW-комплексу можно поставить в
соответствие кольцо
. Это соответствие
является контравариантным функтором из категории CW-комплексов и
непрерывных отображений в категорию колец и гомоморфизмов. Гомотопически
эквивалентным (см. Гомотопическая эквивалентность)
соответствуют изоморфные
,
.
Это
обстоятельство позволяет изучать гомотопические свойства пространства
, рассматривая алгебраические
свойства колец
. Отображение (*)
связывает К-теорию с теорией когомологий.
Ввиду того что К-теория построена на
основе геометрического понятия векторного расслоения, она оказывается более
тонкой характеристикой гомотопического типа пространства , чем теория когомологий.
С помощью К-теории в последнее время было получено решение ряда трудных и давно ждавших решения задач: об алгебрах с делением, о векторных полях на сферах и др.
Основные труды по К-теории принадлежат А. Гротендику, Р. Ботту, М. Атье, Дж. Адамсу, С. П. Новикову.