К-ТЕОРИЯ

К-ТЕОРИЯ — ветвь алгебраической топологии, начало и бурное развитие которой относится к последним двум десятилетиям.

Исходным объектом этой теории является векторное расслоение над конечным клеточным комплексом. Пусть  и  — два векторных расслоения над СW-комплексом. Эти расслоения (пучки) называются стабильно эквивалентными, если существует такое натуральное число , что расслоения  и  эквивалентны как векторные расслоения. Здесь ,  означают векторные расслоения, равные суммам Уитни расслоений  и  с тривиальным векторным расслоением размерности .

Множество классов эквивалентных векторных расслоений над , факторизованное по отношению стабильной эквивалентности, порождает кольцо (над целыми числами). Его обозначают . Операция сложения элементов  порождается суммой Уитни расслоений  — представителей классов стабильно эквивалентных пучков .

Корректность операции вычитания элементов  обусловлена следующим фактом из теории векторных расслоений: для каждого расслоения  над  существует такое расслоение , что сумма Уитни  является тривиальным векторным расслоением  (т. е. тривиальным расслоением размерности ) над . При  и  (волна над , означает класс стабильной эквивалентности, соответствующий ).

Умножение элементов из  порождено тензорным умножением векторных расслоений.

Описанное построение кольца  называется конструкцией Гротендика. Идея этой конструкции лежит в основании К.т. В дальнейшем описании К. т. ограничимся случаем комплексных векторных расслоений — комплексная К. т.

Фундаментальным фактором этой теории является периодичность Р. Ботта. Теорема Ботта о периодичности устанавливает изоморфизм  как аддитивных групп, т. е. взаимно однозначное соответствие элементов , , сохраняющее операцию сложения. Здесь  означает двойную надстройку над пространством .

Пусть , где  означает множество элементов  размерности нуль (, ). При этом  (с учетом изоморфизма Ботта) оказывается кольцом, закон умножения в котором удовлетворяет условию , , , здесь .

Каждое векторное расслоение  размерности  над  удобно описывается с помощью так называемого характеристического отображения: , где  — универсальное пространство — множество n-мерных плоскостей в N-мерном эрмитовом линейном пространстве, проходящих через начало координат. (Чему равно  — несущественно, важно только, что  велико.)

Гомотопический класс характеристического отображения определяет расслоение  однозначно с точностью до эквивалентности. Топологически пространство  хорошо изучено. Его кольцо когомологий изоморфно кольцу симметрических многочленов от  переменных , каждому из которых приписана степень два. Образующие этого кольца — элементарные симметрические полиномы  — порождают классы  когомологий пространства  по формуле

,

где антиотображение когомологий  соответствует характеристическому отображению . Элемент  называется k-м классом Черна расслоения .

В алгебре когомологий пространства  над полем действительных чисел имеется замечательный элемент

(здесь  — полиномы Ньютона, они являются многочленами от элементарных симметрических полиномов , так что в самом деле принадлежат алгебре когомологий пространства  с вещественными коэффициентами). Элемент  порождает элемент  в алгебре когомологий пространства  по формуле:

.

При этом  называется характером Черна расслоения .

Характер Черна задает отображение

.

Это отображение индуцирует отображение

     (*)

При этом элементам из  соответствуют четномерные когомологии из , а элементам из  — нечетномерные когомологии из . Это отображение является гомоморфизмом колец  и .

Резюмируем и уточним вышесказанное. Каждому CW-комплексу  можно поставить в соответствие кольцо . Это соответствие является контравариантным функтором из категории CW-комплексов и непрерывных отображений в категорию колец и гомоморфизмов. Гомотопически эквивалентным (см. Гомотопическая эквивалентность)  соответствуют изоморфные , . Это обстоятельство позволяет изучать гомотопические свойства пространства , рассматривая алгебраические свойства колец . Отображение (*) связывает К-теорию с теорией когомологий.

Ввиду того что К-теория построена на основе геометрического понятия векторного расслоения, она оказывается более тонкой характеристикой гомотопического типа пространства , чем теория когомологий.

С помощью К-теории в последнее время было получено решение ряда трудных и давно ждавших решения задач: об алгебрах с делением, о векторных полях на сферах и др.

Основные труды по К-теории принадлежат А. Гротендику, Р. Ботту, М. Атье, Дж. Адамсу, С. П. Новикову.