КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ. Пусть  — квадрируемая ограниченная область в евклидовой плоскости переменных ;  — функция, определенная в , ,  — разбиение области  на квадрируемые множества , ;  — площадь ,  — точка из множества , ; — диаметр множества , . Если

       (*)

существует при любом способе измельчения разбиения , лишь бы , и не зависит от выбора точек , то предел (*) называется двойным интегралом по области  от функции , обозначается

.

Двойной интеграл — самый простой вид К. и.

Аналогично может быть определен тройной интеграл функции ,  по (кубируемой ограниченной) области  евклидова пространства переменных  обозначается

и n-кратный интеграл от функции ,  по измеримой ограниченной области  евклидова пространства переменных  (обозначается , или короче ).

К. и. есть общее название вышеперечисленных видов интегралов. Пределы, аналогичные пределу (*), определяющие К. и., существуют, если  — непрерывная функция, a  — ограниченная замкнутая область в евклидовом пространстве.

К. и. обладают следующими свойствами:

1. ;

2. ,  - константа;

3. ,

где  и  — непересекающиеся области, ;

4. теорема о среднем:

,

где  — некоторая точка в ;  — n-мерный объем области ;  непрерывна в .

Вычисление n-кратного интеграла сводится к вычислению -кратного интеграла с последующим вычислением (одномерного) определенного интеграла по формуле:

,

где  — проекция сечения области  -мерной гиперплоскостью  на гиперплоскость .

Для двойных и тройных интегралов справедливы следующие формулы, сводящие эти К. и. к повторным определенным интегралам:

,

,

где  — правые части уравнений , , задающие две кривые — нижнюю и верхнюю границы области ;  — правые части уравнений , , задающие две поверхности — нижнюю и верхнюю границы области ;  — правые части уравнений , , задающие две линии — нижнюю и верхнюю границы области — проекции  на плоскость . См. рис. 79, а, б.

Рис. 79

При вычислении К. и. бывают полезны формулы замены переменной в К.и.

К. и. допускают важные геометрические, механические и физические интерпретации, среди них:

1. Геометрический смысл двойного интеграла  при  в  есть объем цилиндрического тела, ограниченного поверхностью , плоскостью  и цилиндрической поверхностью  (здесь  — уравнение границы области  в плоскости ).

2. Масса  неоднородного тела, распределенная с плотностью  в области  трехмерного пространства, равна:

.