ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух векторов  трехмерного евклидова пространства (обозначается  или ) — такой вектор , который:

1) равен по длине числу , где ,  — длины векторов ,   — величина угла между  и ;

2) перпендикулярен векторам ;

3) удовлетворяет условию: ориентация тройки векторов  совпадает с ориентацией базисной тройки .

Если  — единичные взаимно перпендикулярные векторы трехмерного евклидова пространства и

то

.

Последняя формула является символической, ее точный смысл таков:

          (*)

(Запись  в виде определителя помогает запомнить формулу (*).)

Свойства В. п.: 1) В. п.  равно нулю тогда и только тогда, когда векторы  коллинеарны (см. Коллинеарные векторы);

2)  (свойство антикоммутативности);

3) ,  при любом вещественном ;

4)  (свойства 3), 4) называются свойствами билинейности);

5) .

В. п. и его свойства используются во многих вопросах аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, теории поля, механики. Следует отметить, что В. п. зависит от ориентации базисной тройки, т. е. является псевдовектором.