ВЕЛИЧИНА

ВЕЛИЧИНА, Потребности практической деятельности человека с давних времен требовали от науки соизмерения различных (но однородных) физических, геометрических и тому подобных свойств реальных объектов. Такое соизмерение (сравнение) естественным образом привело к математической конструкции сопоставления каждому элементу из рассматриваемого множества числа, характеризующего этот элемент с интересующей исследователя точки зрения. Такими конструкциями являются способы измерения площади, длины, массы, температуры и т. п. В этих конструкциях некоторый элемент рассматриваемого множества выбирается за единичный, а остальные элементы измеряются по естественным правилам с помощью этого единичного элемента, в результате чего получаются числа, их характеризующие (измеряющие). Примерами сказанного могут служить измерения длин единичным отрезком, площадей единичным квадратом, масс единичной массой и т. д.

Описанные конструкции могут быть положены в основу математической абстракции, приводящей к математическому понятию В. Аксиомы, определяющие положительные В., таковы.

Говорят, что задана В., если задано множество объектов  и на этом множестве отношение равенства (=), отношение больше (>), отношение меньше (<) и операция сложения (+). При этом

1) для любых двух  имеет место одно из трех ;

2) если  и , то  (транзитивность отношения <);

3) для любых двух  существует однозначно определенная ;

4)  — коммутативность сложения;

5)  — ассоциативность сложения;

6)  — монотонность сложения;

7) если , то существует одна и только одна В. , для которой  (возможность вычитания);

8) какова бы ни была В.  и натуральное число , найдется такая В. , что  (возможность деления);

9) каковы бы ни были В. , найдется такое , что  (аксиома Архимеда или Евдокса).

Понятие В., построенное на аксиомах 1—9, не описывает в полной мере измерения длин отрезков ввиду существования несоизмеримых отрезков. Это неудобство устраняет следующая аксиома.

10) Пусть последовательность В. ,  обладает свойством , а последовательность , , свойством , при этом  для любых . Пусть для любого  существует такое , что при всех  разность .

Тогда существует единственный элемент , удовлетворяющий условиям  , для любых .

Свойства 1)—10) дают современное понятие системы положительных скалярных величин.

Понятие В., описанное выше, исторически подвергалось многократным обобщениям. В частности, изучение сил, скоростей, упругих напряжений привело к понятиям векторов и тензоров.

Эти понятия по современным соглашениям также считаются В., хотя многие из аксиом, указанных выше, для них неверны.

Употребителен термин «переменная В.», означающий функцию (числовую, векторную, тензорную), значения которой меняются с изменением независимой В.— аргумента.