ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА поверхности. Пусть  — уравнение поверхности  в трехмерном евклидовом пространстве , ,  — единичные координатные орты в . Если функции  дважды непрерывно дифференцируемы, то определена квадратичная форма относительно дифференциалов :

,

где  — единичный вектор нормали к поверхности  (его нужно вычислить по формуле , где  — частные производные векторной функции  по переменным )  — второй дифференциал , т. е.

.

В. к. ф. поверхности инвариантна относительно замены переменных (несмотря на то, что  этим свойством не обладает).

Коэффициенты  следующим образом выражаются через функции  и их частные производные по :

В. к. ф. поверхности вместе с первой квадратичной формой  определяют все дифференциально геометрические свойства поверхности, расположенной в трехмерном евклидовом пространстве.

В частности, кривизна нормального сечения поверхности, проходящего через вектор , в точке  равна

.

Задание двух квадратичных форм (первой и второй) определяет поверхность  однозначно с точностью до ее расположения во вмещающем трехмерном пространстве.

Однако, для того чтобы две произвольные квадратичные формы (одна из которых положительно определена) являлись первой и второй квадратичными формами поверхности, необходимо (и достаточно), чтобы они совместно удовлетворяли некоторым условиям. Эти условия были найдены К. Ф. Гауссом (см. Гаусса формула) и К. М. Петерсоном.