ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, изучающий методы исследования функционалов на максимум и минимум. Простейшей задачей В. и. является задача нахождения экстремума функционала вида:

среди кривых , имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих условию ,  ( — заданные постоянные числа). Оказывается, что искомая кривая удовлетворяет дифференциальному уравнению (уравнению Л. Эйлера):

       (*)

При этом всякая функция, удовлетворяющая уравнению (*), называется экстремалью.

Левая часть уравнения связана с вариацией  функционала , т. е. с главной линейной частью разности , где  — некоторая функция,  близкая к ней другая функция, . Именно:

.

Вариация  функционала  играет роль, аналогичную роли дифференциала при исследовании функций на максимум и минимум.

Большое значение в развитии В. и. имела задача о брахистохроне, решенная И. Бернулли в 1696 г.

Уравнение (*) было получено в 1744 г. Л. Эйлером.

Общие принципы решения вариационных задач были разработаны Л. Эйлером и Ж. Лагранжем. Значительный вклад в эту науку внесли труды К. Якоби, М. В. Остроградского, У. Гамильтона, К. Вейерштрасса.

В своем дальнейшем развитии В. и. включило в себя ряд разделов функционального анализа, топологии. В. и. послужило толчком к развитию разнообразных численных методов решения экстремальных задач.

Особую главу В. и. составляет теория оптимального управления, разработанная в последнее время советским математиком академиком Л. С. Понтрягиным и его учениками.

На протяжении второй половины XVIII в. и всего XIX в. предпринимались интенсивные попытки построить аксиоматику механики на основе принципов, формулируемых в терминах В. и., в результате чего были разработаны так называемые вариационные принципы механики, В более позднее время были разработаны вариационные принципы построения квантовой механики, электродинамики и других физических наук.