ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА СФЕРАХ

ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА СФЕРАХ — так называется задача, имеющая давнюю историю и решенная американским математиком Дж. Адамсом в середине 60-х годов нашего столетия.

Векторное поле на -мерной сфере

в n-мерном евклидовом пространстве есть непрерывная функция, относящая каждой точке   сферы вектор из касательного пространства к сфере в этой точке. Этот касательный вектор можно толковать как вектор n-мерного евклидова пространства, перпендикулярный радиус-вектору точки  сферы.

Система векторных полей на сфере называется линейно независимой, если в каждой точке сферы рассматриваемые векторные поля задают линейно независимую систему векторов. (Это условие означает, между прочим, что ни одно векторное поле из линейно независимой системы векторных полей не может обратиться в нуль в какой-либо точке сферы).

Еще в начале века возникла такая задача: какое максимальное число линейно независимых векторных полей можно построить на сфере ? Немецкому математику Гурвицу удалось построить  векторных полей на  сфере, где функция  определена следующим образом: представим  в виде

, ;

представим число  в виде

,

где  — остаток от деления  на четыре. По определению

.

Например, , , , , , , , , ,  и т. д.

Долгое время попытки доказать (или опровергнуть) утверждение о том, что максимальное число линейно независимых полей на  равно , были безуспешными.

Как сказано выше, этот вопрос был решен Дж. Адамсом. Оказалось, что максимальное количество линейно независимых полей на  равно .