ВОЗВРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

ВОЗВРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ п-й степени — алгебраическое уравнение:

    (*)

в котором  где . Часто В. у. определяют как уравнение вида (*), в котором коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца, одинаковы. Последнее определение менее удачно, так как может привести к недоразумению (например, уравнение  не является В. у., так как в нем , , , ,  и , т. е. , , хотя ).

Термин В. у. был введен Л. Эйлером в 1733 г.

Корни В. у. отличны от нуля. Если  — корень В. у., то  также является корнем этого В. у. (В. у. нечетной степени имеет корень ; делением его левой части на  оно сводится к В. у. четной степени.)

Решение В. у. четной степени  подстановкой  сводится к решению уравнения т-й степени и  квадратных уравнений. К В. у. сводится уравнение деления круга. Близкими к В. у. являются косовозвратное уравнение и возвратное уравнение второго рода.

Пример. Решим В. у. ,  . Поэтому исходное уравнение сводится к В. у. четвертой степени:

.

Разделив обе части уравнения на   и сделав замену , откуда , получаем: . Отсюда . Далее имеем:

, .