ВЕКТОР

ВЕКТОР: 1°. В. — параллельный перенос. В школьном курсе математики рассматривают В. в двумерном и трехмерном линейном пространстве (точнее — в евклидовой плоскости и евклидовом трехмерном пространстве). В школьном курсе математики В. определяют как параллельный перенос рассматриваемого пространства (см. Параллельный перенос).

Это определение эквивалентно определению В. как направленного отрезка, используемому в прежних школьных программах. Эта эквивалентность может быть задана следующим образом: В. как параллельный перенос определяет направленные отрезки , где  — произвольная точка рассматриваемого пространства, а  — образ точки  при параллельном переносе. Все получающиеся таким образом направленные отрезки одинаково направлены и имеют равные длины. По старой терминологии все указанные направленные отрезки задают один и тот же вектор. Иными словами, одинаково направленные и равной длины направленные отрезки равны как векторы.

Обратно, каждый направленный отрезок  определяет параллельный перенос пространства при помощи следующей конструкции: образ произвольной точки  при параллельном переносе есть точка , такая, что направленные отрезки  и  имеют равные длины и сонаправлены.

Преимущества нового определения понятия В. состоят в следующем:

1. Нет необходимости связывать в определении понятия В. такие различные геометрические объекты, как различные направленные отрезки.

2. В новом определении понятия В. участвует фундаментальное общематематическое понятие «преобразование». При этом учащиеся получают возможность рассмотреть важный конкретный пример понятия «преобразование».

В то же время введение нового определения понятия В. сопряжено с некоторыми неудобствами (гораздо менее значительными, чем упомянутые выше преимущества). В частности, понятие В. в физике, технике и механике более естественным образом ассоциируется с направленным отрезком, чем с параллельным переносом.

2°. В. — элемент линейного (векторного) пространства. Совокупность векторов, составляющих векторное (линейное) пространство, является множеством элементов произвольной природы, относительно которых определены две операции:

1. Сложение векторов , обозначаемое .

2. Умножение вектора  на произвольный элемент  заданного поля, обозначаемое

При этом  и  являются элементами рассматриваемого векторного (линейного) пространства, т. е. векторами. Операции 1, 2 по определению удовлетворяют естественным свойствам (см. Линейное векторное пространство).

Таким образом, всякий В. рассматривается вместе с векторным (линейным) пространством, его содержащим, и операциями 1, 2.

Понятие В., сформулированное выше в абстрактной форме, является обобщением понятия вектора, понимаемого как направленный отрезок аффинного пространства, а операции 1, 2 обобщают сложение векторов аффинного пространства по правилу параллелограмма и умножения вектора на число с помощью растяжения направленного отрезка в заданное число раз.

К понятию вектора как направленного отрезка приводят многие задачи механики, физики, теории упругости, теории электромагнитных полей. Соответствующие определения и свойства см. в статьях Свободный вектор и Связанный вектор.

Примеры

1. Векторное (линейное) пространство , состоящее из векторов, — упорядоченных наборов из  чисел , удовлетворяющих заданной однородной системе линейных уравнений.

2. Векторное (линейное) пространство , состоящее из векторов, являющихся функциями одного переменного, удовлетворяющих заданной системе линейных однородных дифференциальных уравнений.

3. Линейное пространство , состоящее из векторов, являющихся линейными формами от переменных , с коэффициентами из заданного поля . (Операции сложения векторов и умножения векторов на числа в примерах 1—3 естественные.)

4. Преобразование плоскости, снабженной системой координат (для определенности — прямоугольной декартовой), заданное формулами

где  — координаты произвольной точки на плоскости, а  — координаты ее образа, является параллельным переносом, т. е. В.