АРКСИНУС

АРКСИНУС — функция, обратная по отношению к синусу на промежутке . Обозначение функции A.: . Области определения  и значений  функции А. можно записать и с помощью двойных неравенств: , .

График функции А. представлен на рис. 10 жирной линией.

Рис. 10

  есть число (величина дуги или угла) из промежутка  синус которого равен числу .

Функция  является обратной по отношению к функции , если значения у принадлежат промежутку  в указанном промежутке функция  непрерывна и строго возрастает, следовательно, обратная ей функция  также непрерывна и строго возрастает.

Функция А. ограниченная и нечетная. Производная функции  равна:

, где ,

А. можно представить в виде интеграла: . А. и арккосинус того же аргумента * связаны зависимостью, аналогичной той, которая существует между арктангенсом и арккотангенсом одного и того же числового аргумента:

это тождество легко доказывается с помощью производной.

Примеры. 1) , ; 2) график функции  есть отрезок биссектрисы , концы которого имеют координаты  и .

Иногда рассматривают многозначную, точнее, бесконечнозначную функцию , область определения которой есть числовой промежуток, область значений — вся числовая прямая; значения этой функции связаны со значениями А. формулой .

Лат. arcus — дуга (величина дуги).

См. также: Синус, Аркфункция, Обратная функция, Обратные тригонометрические функции, Обратное соответствие.