АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО

АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО п измерений — совокупность точек и векторов, удовлетворяющих следующей системе аксиом:

1. Существует по меньшей мере одна точка.

2. Каждой упорядоченной паре точек  поставлен в соответствие один и только один вектор (обозначаемый ).

3. Для каждой точки  и каждого вектора  существует одна и только одна точка  такая, что

(Точка  называется началом, а точка  — концом вектора .)

4. Аксиома параллелограмма. Если , то .

5. Для каждого вектора  и каждого числа  определен вектор  (называемый произведением вектора  на число ),

6. .

7. .

8. .

9.

(в аксиомах 6—9  — произвольные числа,  — произвольные векторы).

10. Существует  линейно независимых векторов, но любые  векторов линейно зависимы (см. Линейная зависимость). А. п. является обобщением обычного трехмерного пространства, в котором векторы понимаются как направленные отрезки, соединяющие пару точек, а равенство векторов  и  означает, что четырехугольник — параллелограмм.

Можно рассматривать А. п., в определении которых (аксиомы 5—10) «числа»  берутся из произвольного поля или кольца. В этих случаях говорят об А. п. над соответствующим полем или кольцом.

Следующий пример А. п. является универсальным в том смысле, что всякое А. п.  измерений ему аффинно изоморфно (см. Аффинное преобразование) Назовем точками А. п. упорядоченные наборы чисел , а векторами А. п. — упорядоченные пары точек. Аксиомы 1—10 выполняются для так определенных точек и векторов, если умножение вектора на число ввести естественным способом; пусть точки  и  заданы в виде  и  соответственно, и  — произвольное число. Положим  равным вектору, определенному парой точек:  и  

См. также: Аффинное преобразование, Аффинный репер, Аффинное свойство, Аффинор, Аффинная геометрия, Аффинная связность, Аффинная группа.