ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ — свойство совокупности векторов линейного пространства. По определению,  векторов  линейного пространства  линейно зависимы (обладают свойством Л. з.) над полем , если существуют  элементов поля — , из которых не все равны нулю, такие, что выполняется равенство:

                   (*)

Бесконечная система векторов линейно зависима, если линейно зависима ее конечная подсистема.

Часто не упоминают о том, над каким полем рассматривается Л. з., подразумевая то поле, над которым задано линейное пространство .

Система векторов  называется линейно независимой, если из равенства (*) вытекает, что .

Понятие размерности линейного пространства определяется в терминах Л. з. В n-мерном линейном пространстве всякая система векторов, содержащая более чем  векторов, является линейно зависимой, и существует линейно независимая система из  векторов.

Два линейно зависимых вектора называются коллинеарными (см. Коллинеарные векторы), три линейно зависимых вектора называются компланарными (см. Компланарные векторы). Если система векторов содержит нулевой вектор, то система является линейно зависимой. Если система векторов линейно зависима, то, по крайней мере, один из векторов системы есть линейная комбинация остальных.

Понятие Л. з. и линейной независимости векторов позволяет свести многие задачи линейной алгебры к исследованию конечной системы векторов — базиса рассматриваемого линейного пространства. Так, вычисление скалярного произведения двух векторов , которые в евклидовом n-мерном пространстве с базисом  имеют координаты  и  соответственно, сводится к вычислению скалярных произведений векторов базиса , . Если базис ортонормирован, то .