АРХИМЕДА АКСИОМА

АРХИМЕДА АКСИОМА — одна из аксиом непрерывности при дедуктивном построении элементарной геометрии по системе, предложенной известным немецким математиком Д. Гильбертом. Впервые А.а. была упомянута Архимедом (умер в 212 г. до н. э.) в его сочинении «О шаре и цилиндре» в числе других геометрических аксиом. Суть А.а. для двух отрезков такова: пусть имеются два каких-либо отрезка  и ; тогда на прямой , на которой расположен больший отрезок , существует конечное число точек , таких, что отрезки  конгруэнтны отрезку  и точка  лежит между точками  и . Более кратко: для любых двух отрезков существует такое натуральное число , что произведение длины меньшего из отрезков на число  превзойдет длину большего отрезка: . А.а. можно сформулировать и для двух положительных действительных чисел  и : для всяких положительных действительных чисел  и  всегда найдется натуральное число  такое, что будет выполняться неравенство . Аналогичное предложение имеет место для всякой измеримой величины (длина отрезков, площадь и объем фигур и т. д.). А.а. в евклидовой геометрии часто называют аксиомой измерения.

А.а. при изложении геометрии по схеме Д. Гильберта не зависит от остальных аксиом, аналогично тому как аксиома параллельности прямых не зависит от других групп аксиом. Следовательно, существуют геометрии, где А.а. не выполняется; такие геометрии называют неархимедовыми.

Если вместо двух аксиом непрерывности (А.а. и аксиомы Кантора о вложенных отрезках) в аксиоматике Д. Гильберта принять аксиому Дедекинда (см. Дедекиндово сечение), то А.а. можно доказать и, следовательно, в этом случае ее можно рассматривать как теорему.