АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, изучающий алгебраические многообразия, например совокупности точек  n-мерного аффинного пространства, удовлетворяющие системе алгебраических уравнений:

                (*)

В А. г. алгебраические многообразия изучаются с точностью до бирациональной эквивалентности. При этом алгебраические многообразия различаются по своим бирациональным инвариантам, в частности по размерности и порядку. Теория алгебраических многообразий малых размерностей (таких, как размерность 1 — алгебраические кривые, размерность 2 — алгебраические поверхности) к настоящему времени широко разработана.

Многие задачи А. г. связаны с рассмотрением системы алгебраических уравнений (*) над произвольным полем, а также в проективном пространстве.

Исторически А. г. возникла при изучении алгебраических кривых и поверхностей невысокого порядка. И. Ньютон классифицировал алгебраические кривые третьего порядка на плоскости (1704).

Глубокие результаты в А. г. были получены в XIX в. норвежским математиком Н. Абелем, немецкими математиками Б. Риманом и К. Вейерштрассом.

В конце XIX — начале XX в. А. г. оформилась в самостоятельную математическую науку в трудах немецкого математика М. Нетера, итальянских математиков Ф. Энриквеса и Ф. Северини. Дальнейшие успехи этой науки связаны с именами Г. Кастельнуово, А. Гротендика, А. Вейля, американского математика С. Лефшеца и советских математиков Н. Г. Чеботарева, И. Г. Петровского, И. Р. Шафаревича, Ю. И. Манина.

В настоящее время А. г. переживает период нового подъема. Методы и результаты А. г. имеют большое значение для таких разделов математики, как теория функций многих комплексных переменных, теория чисел, К-теория и др.