- ÀÁÀÊ
- ÀÁÀÖÈÑÒÛ
- ÀÁÅËÅÂÀ ÃÐÓÏÏÀ
- ÀÁÅËß ÒÅÎÐÅÌÛ
- ÀÁÐÈÑ
- ÀÁÑÎËÞÒ
- ÀÁÑÎËÞÒÍÀß ÂÅËÈ×ÈÍÀ
- ÀÁÑÎËÞÒÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß
- ÀÁÑÎËÞÒÍÀß ÈÍÒÅÃÐÈÐÓÅÌÎÑÒÜ
- ÀÁÑÎËÞÒÍÎ ÑÕÎÄßÙÈÉÑß ÐßÄ
- ÀÁÑÎËÞÒÍÎÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÈÅ
- ÀÁÑÎËÞÒÍÛÉ ÝÊÑÒÐÅÌÓÌ
- ÀÁÑÖÈÑÑÀ
- ÀÂÒÎÌÀÒ
- ÀÂÒÎÌÀÒÎÂ ÒÅÎÐÈß
- ÀÂÒÎÌÎÐÔÈÇÌ
- ÀÂÒÎÌÎÐÔÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÀÄÀÌÀÐÀ ÏÐÈÌÅÐ
- ÀÄÄÈÒÈÂÍÀß ÃÐÓÏÏÀ
- ÀÄÄÈÒÈÂÍÀß ÒÅÎÐÈß ×ÈÑÅË
- ÀÄÄÈÒÈÂÍÛÅ ÂÅËÈ×ÈÍÛ
- ÀÄÚÞÍÊÒÀ
- ÀÊÑÈÎÌÀ
- ÀÊÑÈÎÌÀÒÈÊÀ
- ÀÊÑÈÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÅÒÎÄ
- ÀÊÑÎÍÎÌÅÒÐÈß
- ÀËÃÅÁÐÀ
- ÀËÃÅÁÐÀ Ñ ÄÅËÅÍÈÅÌ
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÀß ÊÐÈÂÀß
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÀß ÍÅÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÀß ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÜ
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÀß ÑÈÑÒÅÌÀ
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈ ÇÀÌÊÍÓÒÎÅ ÏÎËÅ
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÉ ÝËÅÌÅÍÒ ÏÎËß
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÎÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÅ
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÎÅ ÄÎÏÎËÍÅÍÈÅ
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÎÅ ÇÀÌÛÊÀÍÈÅ ÏÎËß
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÍÎÃÎÎÁÐÀÇÈÅ
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÎÅ ÐÀÑØÈÐÅÍÈÅ ÏÎËß
- ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÎÅ ×ÈÑËÎ
- ÀËÃÅÁÐÛ ÎÑÍÎÂÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ
- ÀËÃÎË
- ÀËÃÎÐÈÒÌ
- ÀËÃÎÐÈÒÌÈÊÈ
- ÀËÃÎÐÈÒÌÈ×ÅÑÊÈÉ ßÇÛÊ
- ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ ÒÅÎÐÈß
- ÀËÅÔ
- ÀËÈÄÀÄÀ
- ÀËÔÀÂÈÒ
- ÀËÜÒÅÐÍÀÒÈÂÍÎÅ ÊÎËÜÖÎ
- ÀÌÏËÈÒÓÄÀ
- ÀÍÀÃËÈÔ
- ÀÍÀËÈÇ
- ÀÍÀËÈÇ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
- ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß
- ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÐÎÄÎËÆÅÍÈÅ
- ÀÍÀËÎÃÈß
- ÀÍÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÎÅ ÎÒÍÎØÅÍÈÅ
- ÀÍÍÓËßÒÎÐ
- ÀÍÒÅÖÅÍÄÅÍÒ
- ÀÍÒÈÈÇÎÌÎÐÔÈÇÌ ÊÎËÅÖ
- ÀÍÒÈÊÎÌÌÓÒÀÒÈÂÍÎÑÒÈ ÇÀÊÎÍ
- ÀÍÒÈËÈÍÅÉÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
- ÀÍÒÈËÎÃÀÐÈÔÌ
- ÀÍÒÈÍÎÌÈÈ
- ÀÍÒÈÏÀÐÀËËÅËÎÃÐÀÌÌ
- ÀÍÒÈÏÀÐÀËËÅËÜÍÛÅ ÏÐßÌÛÅ
- ÀÍÒÈÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÍÎÑÒÜ
- ÀÍÒÜÅ
- ÀÏÎËËÎÍÈß ÇÀÄÀ×À
- ÀÏÎËËÎÍÈß ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÜ
- ÀÏÎÐÈß
- ÀÏÎÔÅÌÀ
- ÀÏÏËÈÊÀÒÀ
- ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß
- ÀÐÀÁÑÊÈÅ ÖÈÔÐÛ
- ÀÐÃÓÌÅÍÒ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÃÎ ×ÈÑËÀ
- ÀÐÃÓÌÅÍÒ ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÀ
- ÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÀß ÏÐÎÃÐÅÑÑÈß
- ÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÀß ÏÐÎÏÎÐÖÈß
- ÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÎÐÅÍÜ
- ÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÐßÄ
- ÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÎÅ n-ÌÅÐÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
- ÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÄÎÏÎËÍÅÍÈÅ
- ÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÑÐÅÄÍÅÅ
- ÀÐÈÔÌÎÌÀÍÒÈß
- ÀÐÈÔÌÎÌÅÒÐ
- ÀÐÊÊÎÑÅÊÀÍÑ
- ÀÐÊÊÎÑÈÍÓÑ
- ÀÐÊÊÎÒÀÍÃÅÍÑ
- ÀÐÊÑÅÊÀÍÑ
- ÀÐÊÑÈÍÓÑ
- ÀÐÊÒÀÍÃÅÍÑ
- ÀÐÊÔÓÍÊÖÈß
- ÀÐÍÎÑÒÜ
- ÀÐÕÈÌÅÄÀ ÀÊÑÈÎÌÀ
- ÀÐÕÈÌÅÄÎÂÀ ÑÏÈÐÀËÜ
- ÀÐÖÅËÀ ÒÅÎÐÅÌÀ
- ÀÑÈÌÏÒÎÒÀ
- ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÀß ËÈÍÈß ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ
- ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÅ
- ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ
- ÀÑÑÎÖÈÀÒÈÂÍÎ-ÊÎÌÌÓÒÀÒÈÂÍÎÅ ÊÎËÜÖÎ
- ÀÑÑÎÖÈÀÒÈÂÍÎÅ ÊÎËÜÖÎ
- ÀÑÑÎÖÈÀÒÈÂÍÎÑÒÜ
- ÀÑÑÎÖÈÀÒÎÐ
- ÀÑÑÎÖÈÈÐÎÂÀÍÍÛÅ ÝËÅÌÅÍÒÛ
- ÀÑÒÐÎÈÄÀ
- ÀÑÒÐÎËßÁÈß
- ÀÒËÀÑ
- ÀÔÔÈÊÑ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÃÎ ×ÈÑËÀ
- ÀÔÔÈÍÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß
- ÀÔÔÈÍÍÀß ÃÐÓÏÏÀ
- ÀÔÔÈÍÍÀß ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ
- ÀÔÔÈÍÍÀß ÑÂßÇÍÎÑÒÜ
- ÀÔÔÈÍÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
- ÀÔÔÈÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
- ÀÔÔÈÍÍÎÅ ÑÂÎÉÑÒÂÎ
- ÀÔÔÈÍÍÎÉ ÑÂßÇÍÎÑÒÈ ÃÅÎÌÅÒÐÈß
- ÀÔÔÈÍÍÎÉ ÑÂßÇÍÎÑÒÈ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
- ÀÔÔÈÍÍÛÉ ÐÅÏÅÐ
- ÀÔÔÈÍÎÐ
ÀÁÑÎËÞÒÍÎÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÈÅ
ÀÁÑÎËÞÒÍÎÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÈÅ
òåíçîðíûõ ïîëåé
â ïðîñòðàíñòâå àôôèííîé ñâÿçíîñòè (ñì. Àôôèííîé ñâÿçíîñòè ïðîñòðàíñòâî).
Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå àôôèííîé ñâÿçíîñòè çàäàíî íåêîòîðîå òåíçîðíîå ïîëå . Ðàññìîòðèì òî÷êó
ýòîãî ïðîñòðàíñòâà,
åå êîîðäèíàòíóþ îêðåñòíîñòü
è íåêîòîðóþ êðèâîëèíåéíóþ ñèñòåìó
êîîðäèíàò (ñì. Êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû)
ýòîé îêðåñòíîñòè. Ñèñòåìà êîîðäèíàò
îïðåäåëÿåò
ñèñòåìó êîîðäèíàò
â êàñàòåëüíîì
ïðîñòðàíñòâå
êàæäîé òî÷êè
, è ýòè êàñàòåëüíûå ïðîñòðàíñòâà
ÿâëÿþòñÿ àôôèííûìè ïðîñòðàíñòâàìè. Ïðè ýòîì òåíçîðíîå ïîëå â êàæäîé òî÷êå
çàäàåò òåíçîð
ñîîòâåòñòâóþùåãî êàñàòåëüíîãî
ïðîñòðàíñòâà
.
Ïî
ìíîãèì ïðè÷èíàì âàæíî ñðàâíèòü òåíçîð ñ òåíçîðîì
â òî÷êå
, áëèçêîé ê
. (Ýòà çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ
îáîáùåíèåì çàäà÷è ñðàâíåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî
â òî÷êå
è áëèçêîé ê íåé òî÷êå
, êîòîðàÿ
ðåøàåòñÿ â òåðìèíàõ ïîíÿòèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè.)
Â
ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè çàäà÷à ñðàâíåíèÿ îñëîæíÿåòñÿ òåì, ÷òî òåíçîðû è
îïðåäåëåíû â
ðàçíûõ àôôèííûõ ïðîñòðàíñòâàõ, à ñðàâíèâàòü ìåæäó ñîáîé òåíçîðû ìîæíî òîëüêî â
òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè çàäàíû â îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå. Ýòó òðóäíîñòü ìîæíî
îáîéòè ñëåäóþùèì îáðàçîì. Â ïðîñòðàíñòâå àôôèííîé ñâÿçíîñòè îïðåäåëåíî
îòîáðàæåíèå òåíçîðîâ êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâ â ðàçíûõ òî÷êàõ — ïàðàëëåëüíîå
ïåðåíåñåíèå òåíçîðîâ. Ïóñòü
— òåíçîð, ïàðàëëåëüíî ïåðåíåñåííûé èç
ïðîñòðàíñòâà
â ïðîñòðàíñòâî
. Òåïåðü
ìîæíî ðàññìîòðåòü ðàçíîñòü
. Ãëàâíàÿ ëèíåéíàÿ ÷àñòü ðàçíîñòè
íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíûì äèôôåðåíöèàëîì
òåíçîðíîãî ïîëÿ
â òî÷êå
, à ñàìà îïåðàöèÿ
íàõîæäåíèÿ àáñîëþòíîãî äèôôåðåíöèàëà — À. ä. Àáñîëþòíûé äèôôåðåíöèàë òåíçîðíîãî
ïîëÿ â òî÷êå
ÿâëÿåòñÿ
òåíçîðîì òîãî æå ñòðîåíèÿ (ñì. Ñòðîåíèå òåíçîðîâ), ÷òî è
, è, áóäó÷è ðàññìîòðåí
â êàæäîé òî÷êå
îïðåäåëÿåò
äèôôåðåíöèàë
òåíçîðíîãî
ïîëÿ
—
òåíçîðíîå ïîëå òîãî æå ñòðîåíèÿ, ÷òî è
.
Âû÷èñëåíèå
îáû÷íî
ïðîâîäèòñÿ â çàäàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
îêðåñòíîñòè
. ßâíîå âûðàæåíèå
èñïîëüçóåò
ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ
(ñì.
Êðèñòîôôåëÿ ñèìâîëû).
Â
ñëó÷àå, êîãäà — òåíçîð îäèí ðàç
êîíòðàâàðèàíòíûé,
èìååò âèä:
(1)
äëÿ îäèí ðàç êîâàðèàíòíîãî òåíçîðà
(2)
çäåñü — êîîðäèíàòû òî÷êè
â ñèñòåìå
. Ôîðìóëû, âûðàæàþùèå
àáñîëþòíûé äèôôåðåíöèàë òåíçîðíûõ ïîëåé áîëåå ñëîæíîãî ñòðîåíèÿ, àíàëîãè÷íû
ñëåäóþùåé ôîðìóëå, â êîòîðîé
— òåíçîð îäèí ðàç êîíòðàâàðèàíòíûé è äâà
ðàçà êîâàðèàíòíûé:
(3)
Ôîðìóëà (3), òàê
æå êàê è (1), (2), èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî çàìåíû êîîðäèíàò, ò. å. ÷èñëà , âû÷èñëåííûå â ðàçíûõ
ñèñòåìàõ êîîðäèíàò, ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè îäíîãî è òîãî æå òåíçîðà. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî
èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè.
Àáñîëþòíûé
äèôôåðåíöèàë òåíçîðíîãî ïîëÿ
ñâÿçàí ñ
êîâàðèàíòíûìè ïðîèçâîäíûìè ýòîãî ïîëÿ ñîîòâåòñòâèåì
Àáñîëþòíûé äèôôåðåíöèàë íàçûâàåòñÿ òàêæå êîâàðèàíòíûì äèôôåðåíöèàëîì.