АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ тензорных полей в пространстве аффинной связности (см. Аффинной связности пространство). Пусть в пространстве аффинной связности задано некоторое тензорное поле . Рассмотрим точку  этого пространства, ее координатную окрестность  и некоторую криволинейную систему координат (см. Криволинейные координаты)  этой окрестности. Система координат  определяет систему координат  в касательном пространстве  каждой точки , и эти касательные пространства являются аффинными пространствами. При этом тензорное поле в каждой точке  задает тензор  соответствующего касательного пространства .

По многим причинам важно сравнить тензор  с тензором  в точке , близкой к . (Эта задача является обобщением задачи сравнения значений функции одного переменного в точке  и близкой к ней точке , которая решается в терминах понятия производной функции.)

В рассматриваемой ситуации задача сравнения осложняется тем, что тензоры  и  определены в разных аффинных пространствах, а сравнивать между собой тензоры можно только в том случае, когда они заданы в одном и том же пространстве. Эту трудность можно обойти следующим образом. В пространстве аффинной связности определено отображение тензоров касательных пространств в разных точках — параллельное перенесение тензоров. Пусть  — тензор, параллельно перенесенный из пространства  в пространство . Теперь можно рассмотреть разность . Главная линейная часть разности  называется абсолютным дифференциалом тензорного поля  в точке , а сама операция нахождения абсолютного дифференциала — А. д. Абсолютный дифференциал тензорного поля в точке  является тензором того же строения (см. Строение тензоров), что и , и, будучи рассмотрен в каждой точке  определяет дифференциал  тензорного поля  — тензорное поле того же строения, что и .

Вычисление  обычно проводится в заданной системе координат  окрестности . Явное выражение  использует символы Кристоффеля  (см. Кристоффеля символы).

В случае, когда  — тензор один раз контравариантный,  имеет вид:

             (1)

для один раз ковариантного тензора

                  (2)

здесь  — координаты точки  в системе . Формулы, выражающие абсолютный дифференциал тензорных полей более сложного строения, аналогичны следующей формуле, в которой  — тензор один раз контравариантный и два раза ковариантный:

         (3)

Формула (3), так же как и (1), (2), инвариантна относительно замены координат, т. е. числа , вычисленные в разных системах координат, являются координатами одного и того же тензора. Это обстоятельство имеет большое значение для дифференциальной геометрии.

Абсолютный дифференциал  тензорного поля  связан с ковариантными производными этого поля соответствием

Абсолютный дифференциал называется также ковариантным дифференциалом.