АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ тензорных полей в пространстве аффинной связности (см. Аффинной связности пространство). Пусть в пространстве аффинной связности задано некоторое тензорное поле . Рассмотрим точку этого пространства, ее координатную окрестность и некоторую криволинейную систему координат (см. Криволинейные координаты) этой окрестности. Система координат определяет систему координат в касательном пространстве каждой точки , и эти касательные пространства являются аффинными пространствами. При этом тензорное поле в каждой точке задает тензор соответствующего касательного пространства .

По многим причинам важно сравнить тензор с тензором в точке , близкой к . (Эта задача является обобщением задачи сравнения значений функции одного переменного в точке и близкой к ней точке , которая решается в терминах понятия производной функции.)

В рассматриваемой ситуации задача сравнения осложняется тем, что тензоры и определены в разных аффинных пространствах, а сравнивать между собой тензоры можно только в том случае, когда они заданы в одном и том же пространстве. Эту трудность можно обойти следующим образом. В пространстве аффинной связности определено отображение тензоров касательных пространств в разных точках — параллельное перенесение тензоров. Пусть — тензор, параллельно перенесенный из пространства в пространство . Теперь можно рассмотреть разность . Главная линейная часть разности называется абсолютным дифференциалом тензорного поля в точке , а сама операция нахождения абсолютного дифференциала — А. д. Абсолютный дифференциал тензорного поля в точке является тензором того же строения (см. Строение тензоров), что и , и, будучи рассмотрен в каждой точке определяет дифференциал тензорного поля — тензорное поле того же строения, что и .

Вычисление обычно проводится в заданной системе координат окрестности . Явное выражение использует символы Кристоффеля (см. Кристоффеля символы).

В случае, когда — тензор один раз контравариантный, имеет вид:

(1)

для один раз ковариантного тензора

(2)

здесь — координаты точки в системе . Формулы, выражающие абсолютный дифференциал тензорных полей более сложного строения, аналогичны следующей формуле, в которой — тензор один раз контравариантный и два раза ковариантный:

(3)

Формула (3), так же как и (1), (2), инвариантна относительно замены координат, т. е. числа , вычисленные в разных системах координат, являются координатами одного и того же тензора. Это обстоятельство имеет большое значение для дифференциальной геометрии.