АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ ПРОСТРАНСТВО

АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ ПРОСТРАНСТВО. Пусть  — n-мерное дифференцируемое многообразие,  — точка в ,  — окрестность  и отображение  — где  — n-мерный параллелепипед аффинного пространства задает локальную систему криволинейных координат

.

В каждой точке  определено касательное к  пространство (см. Касательное пространство), векторы которого являются векторами аффинного пространства , начала которых совпадают с точкой . Во многих задачах дифференциальной геометрии необходимо сравнивать касательные векторы, принадлежащие двум касательным пространствам к различным точкам .

Для этой цели точки  и  соединяют гладкой кривой  и в касательном пространстве  для каждой точки  выбирают  линейно независимых векторов , , координаты которых в заданной аффинной координатной системе, обозначенные через  являются дифференцируемыми функциями. Такая конструкция определяет параллельное перенесение векторов из одного касательного пространства (к точке ) в другое касательное пространство (к точке ) вдоль кривой : вектор  считается параллельно перенесенным вектором , если координаты этих векторов в базисах  и  одинаковы.

Особое значение имеет параллельное перенесение векторов из точки  в бесконечно близкую точку .

Удобное задание такого параллельного переноса позволяет ввести параллельный перенос вдоль любой кривой . Естественное требование к такой конструкции заключается в следующем.

Пусть  — произвольное гладкое векторное поле в . Рассмотрим разность

,               (*)

где  — вектор поля, перенесенный из точки  в точку . Естественно потребовать, чтобы при рассматриваемом параллельном переносе разность (*) была линейной относительно  с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, т. е.

где

обозначает i-ю координату вектора (*) в исходном базисе касательного пространства точки .

При этом коэффициенты  зависящие только от координат , называются символами Кристоффеля (см. Кристоффеля символы).

Говорят, что  задают объект аффинной связности в  Пространство  вместе с объектом связности называется А. с. п.

Параллельное перенесение вектора  вдоль кривой  следующим образом описывается в терминах А. с. п:

    (**)

Таким образом, для вычисления  следует проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (**) с указанными начальными условиями.

В А. с. п. определена операция абсолютного дифференцирования.(См. Кривизна, Кривизны тензор.)

Аффинная связность является геометрическим понятием, обобщающим параллельное перенесение векторов в аффинном и евклидовом пространствах.

Аффинная связность может быть определена аксиоматически как операция построения по заданным двум векторным полям  третьего векторного поля — , описывающего параллельное пересечение векторов поля  по направлению векторов поля .

Термин А. с. п. введен немецким математиком Г. Вейлем.