АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — основное понятие теории функций комплексного переменного. Однозначная функция  комплексного переменного  называется А. ф. в точке , если в некотором круге  с центром  и радиусом  она определена и представима степенным рядом:

(этот ряд обязательно является рядом Тейлора этой функции). Функция  называется А, ф. в области  плоскости комплексного переменного, если она аналитична в каждой точке области . А. ф. в точке г0 является А. ф. в некоторой окрестности этой точки. Аналогично определяется понятие А. ф.  действительного переменного ; здесь требуется сходимость степенного ряда к  не в круге, а в промежутке .

А.ф. комплексного переменного в области  имеет в каждой точке  области  конечную производную:

;

верно и обратное: если  существует и конечна в , то  является А. ф. в области , поэтому понятие однозначной А. ф. совпадает с понятием голоморфной функции.

А.ф. в связной области  однозначно определена, если заданы ее значения для бесконечного множества точек, имеющего предельную точку внутри области ; в частности, А.ф. определяется своими значениями в произвольно малой окрестности или на произвольно малой дуге, лежащими в . Это свойство, называемое теоремой единственности А.ф., показывает, насколько тесно значения А. ф. связаны между собой. Например, А. ф.  действительного переменного может быть распространена в А. ф. комплексного переменного лишь единственным образом (см. Аналитическое продолжение).

Интеграл от А. ф. в односвязной области  по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру равен нулю (теорема Коши); обратное утверждение также справедливо, если предполагать  непрерывной в области  (теорема Морера). А.ф. имеет производные всех порядков, которые также являются А.ф. в той же области.

Для того чтобы функция  (которую всегда можно задать парой функций  и  двух действительных переменных , а именно  была А.ф. в области , необходимо и достаточно, чтобы в области  функции ,  были дифференцируемы и ,  (условия Коши—Римана или, точнее, Даламбера — Эйлера). При выполнении этого условия  и  составляют пару сопряженных гармонических функций.

А. ф. , не принимающая одинаковых значений в связной области  (однолистная), задает конформное отображение области  плоскости  на область  плоскости .

Многозначная (может быть бесконечнозначная) функция, полученная аналитическим продолжением А. ф., также называется полной А. ф.; каждая однозначная ветвь функции  является однозначной А. ф.

Многозначная (быть может, однозначная или бесконечнозначная) функция , полученная из А.ф. всевозможными аналитическими продолжениями, называется полной А. ф. в смысле Вейерштрасса.

К классу А. ф. принадлежит большинство элементарных функций, например , , , и многие неэлементарные, например гамма-функция, эллиптические функции, бесселевы функции. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа А.ф. являются А.ф., частное А.ф. есть А.ф. (в области, где знаменатель отличен от нуля). Сложная функция , составленная из А.ф.  и , является А.ф.

См. также: Риманова поверхность.