- ÎÁËÀÑÒÜ ÇÀÌÊÍÓÒÀß
- ÎÁËÀÑÒÜ ÇÍÀ×ÅÍÈÉ ÔÓÍÊÖÈÉ
- ÎÁËÀÑÒÜ ÈÇÌÅÍÅÍÈß ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÎÁËÀÑÒÜ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÎÁËÀÑÒÜ ÎÒÊÐÛÒÀß
- ÎÁËÀÑÒÜ ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÈ
- ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÎÁÐÀÇ
- ÎÁÐÀÇÓÞÙÀß ÏÐßÌÎËÈÍÅÉÍÀß
- ÎÁÐÀÒÈÌÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÎÁÐÀÒÈÌÎÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÅ
- ÎÁÐÀÒÍÀß ÌÀÒÐÈÖÀ
- ÎÁÐÀÒÍÀß ÏÐÎÏÎÐÖÈÎÍÀËÜÍÎÑÒÜ
- ÎÁÐÀÒÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ
- ÎÁÐÀÒÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
-
ÎÁÐÀÒÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
ÎÁÐÀÒÍÀß ÔÓÍÊÖÈß äëÿ äàííîé ôóíêöèè (îòîáðàæåíèÿ)
(èëè ê äàííîé ôóíêöèè
). Ïóñòü
— ôóíêöèÿ (
, èëè
), èëè îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà
â
(
). Òîãäà (ôóíêöèÿ) îòîáðàæåíèå
ìíîæåñòâà
íàçûâàþò Î. ô. (îáðàòíûì îòîáðàæåíèåì), åñëè êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé
è
â ëþáîì ïîðÿäêå åñòü òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå. Îáû÷íî Î. ô. äëÿ ôóíêöèè
îáîçíà÷àþò
. Î. ô.
ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îòîáðàæåíèå
ìíîæåñòâà
â
âçàèìíî îäíîçíà÷íî (áèåêòèâíî).
Ãðàôèêè âçàèìíî îáðàòíûõ âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé
è
âåùåñòâåííîãî àðãóìåíòà
, åñëè ó Î. ô. îáîçíà÷åíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèé
è àðãóìåíòà
èçìåíåíû íà
è
, ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåíû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé
, ñîäåðæàùåé áèññåêòðèñû 1-ãî è 3-ãî êâàäðàíòîâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, åñëè æå îáîçíà÷åíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè è àðãóìåíòà íå ìåíÿòü, òî ãðàôèê Î. ô.
ñîâïàäåò ñ ãðàôèêîì ïðÿìîé ôóíêöèè
.
Ïðèìåðû. 1. Ôóíêöèÿ
,
èìååò Î. ô.
.
2. Ôóíêöèÿ
,
, (èíà÷å:
), ãäå
— ïîëîæèòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, âîçðàñòàþùàÿ, îíà îáðàòèìà; îáðàòíàÿ äëÿ íåå ôóíêöèÿ áóäåò çàäàíà ôîðìóëîé
.
3. Ôóíêöèÿ
âîçðàñòàåò è â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ èç îòðåçêà
; ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ
íà îòðåçêå
îáðàòèìà, ò. å. èìååò Î. ô., êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ àðêñèíóñîì è îáîçíà÷àåòñÿ
. Î. ô. íà îòðåçêå
ÿâëÿåòñÿ òàêæå âîçðàñòàþùåé è, êàê è ñèíóñ, íå÷åòíîé.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îá Î. ô.: äëÿ âñÿêîé íåïðåðûâíîé âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé) ôóíêöèè
, çàäàííîé íà îòðåçêå
è ñ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé
, ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íàÿ âîçðàñòàþùàÿ (óáûâàþùàÿ) è íåïðåðûâíàÿ Î. ô., îòîáðàæàþùàÿ
íà
.
Ìû ïðèâåëè îïðåäåëåíèå îäíîçíà÷íîé Î. ô., êîòîðóþ îáû÷íî íàçûâàþò Î. ô., îïóñêàÿ ñëîâî «îäíîçíà÷íîé». Îäíàêî â ìàòåìàòèêå èíîãäà, äîïóñêàÿ âîëüíîñòü, ðàññìàòðèâàþò ìíîãîçíà÷íûå Î. ô. Ñòðîãî ãîâîðÿ, ðå÷ü òîãäà èäåò îá îáðàòíîì ñîîòâåòñòâèè. Íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè
,
, Î. ô. áóäåò «äâóçíà÷íàÿ» ôóíêöèÿ
, òàê êàê
è
Íà ðèñóíêå 26 ïîêàçàí ãðàôèê ôóíêöèè
è äâóçíà÷íîé Î. ô. (ñ èçìåíåíèåì îáîçíà÷åíèé
è
)
. Åñëè Î. ô. ìíîãîçíà÷íà, òî åå ÷àñòî ïðåäñòàâëÿþò êàê ñîâîêóïíîñòü îäíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, òàêæå íàçûâàåìûõ Î. ô. (òî÷íåå, âåòâÿìè Î. ô.).
Ðèñ. 26
- ÎÁÐÀÒÍÎÅ ÎÒÍÎØÅÍÈÅ
- ÎÁÐÀÒÍÎÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÅ
- ÎÁÐÀÒÍÎÅ ÑÎÎÒÂÅÒÑÒÂÈÅ
- ÎÁÐÀÒÍÎÅ ×ÈÑËÎ
- ÎÁÐÀÒÍÛÅ ÃÈÏÅÐÁÎËÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÎÁÐÀÒÍÛÅ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÎÁÙÀß ÌÅÐÀ
- ÎÁÙÅÅ ÍÀÈÌÅÍÜØÅÅ ÊÐÀÒÍÎÅ
- ÎÁÙÈÉ ÄÅËÈÒÅËÜ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÎÂ
- ÎÁÙÈÉ ÍÀÈÁÎËÜØÈÉ ÄÅËÈÒÅËÜ
- ÎÁÙÍÎÑÒÈ ÊÂÀÍÒÎÐ
- ÎÁÚÅÄÈÍÅÍÈÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂ
- ÎÁÚÅÌ
- ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÀß ÄÐÎÁÜ
- ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÀß ÒÎ×ÊÀ
- ÎÂÀËÛ
- ÎÃÈÁÀÞÙÀß
- ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÀß ÂÅËÈ×ÈÍÀ
- ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÀß ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÜ
- ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ
- ÎÄÍÎËÈÑÒÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÎÄÍÎËÈÑÒÍÎÑÒÈ ÎÁËÀÑÒÜ
- ÎÄÍÎÏÎËÎÑÒÍÛÉ ÃÈÏÅÐÁÎËÎÈÄ
- ÎÄÍÎÐÎÄÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÎÄÍÎÐÎÄÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
- ÎÄÍÎÐÎÄÍÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ
- ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÛ
- ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÉ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍ
- ÎÄÍÎÑÂßÇÍÀß ÎÁËÀÑÒÜ
- ÎÄÍÎÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ
- ÎÄÍÎÑÒÎÐÎÍÍÈÉ ÏÐÅÄÅË
- ÎÄÍÎÑÒÎÐÎÍÍßß ÊÀÑÀÒÅËÜÍÀß
- ÎÄÍÎÑÒÎÐÎÍÍßß ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß
- ÎÄÍÎ×ËÅÍ
- ÎÊÐÅÑÒÍÎÑÒÜ ÒÎ×ÊÈ
- ÎÊÐÓÃËÅÍÈÅ ÄÅÉÑÒÂÈÒÅËÜÍÎÃÎ ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÎÃÎ ×ÈÑËÀ
- ÎÊÐÓÃËÅÍÈß ÒÎ×ÊÀ
- ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÈ ÊÎÍÖÅÍÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ
- ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÜ
- ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÜ ÀÏÎËËÎÍÈß
- ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÜ ÄÅÂßÒÈ ÒÎ×ÅÊ
- ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÜ ÊÐÈÂÈÇÍÛ
- ÎÊÒÀÍÒ
- ÎÊÒÀÝÄÐ
- ÎÏÅÐÀÒÎÐ
- ÎÏÅÐÀÒÎÐÎÂ ÒÅÎÐÈß
- ÎÏÅÐÀÖÈÎÍÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ
- ÎÏÅÐÀÖÈß n-ÀÐÍÀß
- ÎÏÈÑÀÍÍÛÅ ÔÈÃÓÐÛ
- ÎÏÎÐÍÀß ÏËÎÑÊÎÑÒÜ
- ÎÏÎÐÍÀß ÏÐßÌÀß
- ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÎÍßÒÈß
- ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÉ ÈÍÒÅÃÐÀË
- ÎÏÐÅÄÅËÈÒÅËÜ
- ÎÐÄÈÍÀËÜÍÎÅ ×ÈÑËÎ
- ÎÐÄÈÍÀÒÀ
- ÎÐÈÅÍÒÀÖÈß
- ÎÐÈÅÍÒÈÐÓÅÌÛÅ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ
- ÎÐÈÑÔÅÐÀ
- ÎÐÈÖÈÊË
- ÎÐÒ
- ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÀß ÌÀÒÐÈÖÀ
- ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÀß ÏÐÎÅÊÖÈß
- ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
- ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ
- ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÎÐÒÎÍÎÐÌÈÐÎÂÀÍÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÔÓÍÊÖÈÉ
- ÎÐÒÎÖÅÍÒÐ
- ÎÑÅÂÀß ÑÈÌÌÅÒÐÈß
- ÎÑÅÂÎÉ ÂÅÊÒÎÐ
- ÎÑÍÎÂÀÍÈÅ ÏÈÐÀÌÈÄÛ
- ÎÑÍÎÂÀÍÈÅ ÏÎÇÈÖÈÎÍÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ×ÈÑËÅÍÈß
- ÎÑÍÎÂÀÍÈÅ ÑÒÅÏÅÍÈ
- ÎÑÍÎÂÀÍÈÅ ÒÐÅÓÃÎËÜÍÈÊÀ
- ÎÑÍÎÂÀÍÈß ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ
- ÎÑÍÎÂÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ ÀËÃÅÁÐÛ
- ÎÑÎÁÀß ÒÎ×ÊÀ
- ÎÑÎÁÅÍÍÀß ÌÀÒÐÈÖÀ
- ÎÑÒÀÒÎ×ÍÛÉ ×ËÅÍ
- ÎÑÒÐÎÃÐÀÄÑÊÎÃÎ ÌÅÒÎÄ
- ÎÑÒÐÎÃÐÀÄÑÊÎÃÎ ÔÎÐÌÓËÀ
- ÎÑÒÐÛÉ ÓÃÎË
- ÎÑÜ ÑÈÌÌÅÒÐÈÈ
- ÎÑÜ ÑÈÌÌÅÒÐÈÈ (n-ãî ïîðÿäêà)
- ÎÑÜ ×ÈÑËÎÂÀß
- ÎÒÊÐÛÒÀß ÎÁËÀÑÒÜ
- ÎÒÊÐÛÒÎÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ
- ÎÒÊÐÛÒÛÉ ÏÀÐÀËËÅËÅÏÈÏÅÄ
- ÎÒÊÐÛÒÛÉ ØÀÐ
- ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÀß ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÜ
- ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ
- ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÛÉ ÌÀÊÑÈÌÓÌ
- ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÛÉ ÌÈÍÈÌÓÌ
- ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÛÉ ÝÊÑÒÐÅÌÓÌ
- ÎÒÍÎØÅÍÈÅ
- ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÅ
- ÎÒÐÅÇÎÊ
- ÎÒÐÈÖÀÍÈÅ
- ÎÒÐÈÖÀÒÅËÜÍÎ-ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÀß ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÀß ÔÎÐÌÀ
- ÎÒÐÈÖÀÒÅËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ
- ÎØÈÁÊÀ ÎÊÐÓÃËÅÍÈß