ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ для данной функции (отображения)  (или к данной функции ). Пусть  — функция (, или ), или отображение множества  в  (). Тогда (функция) отображение  множества  называют О. ф. (обратным отображением), если композиция отображений  и  в любом порядке есть тождественное отображение. Обычно О. ф. для функции  обозначают . О. ф.  существует тогда и только тогда, когда отображение  множества  в  взаимно однозначно (биективно).

Графики взаимно обратных вещественных функций  и  вещественного аргумента , если у О. ф. обозначения значений функций  и аргумента  изменены на  и , симметрично расположены относительно прямой , содержащей биссектрисы 1-го и 3-го квадрантов на координатной плоскости, если же обозначения значений функции и аргумента не менять, то график О. ф.  совпадет с графиком прямой функции .

Примеры. 1. Функция ,  имеет О. ф. .

2. Функция , , (иначе: ), где  — положительные действительные числа, возрастающая, она обратима; обратная для нее функция будет задана формулой .

3. Функция  возрастает и в силу непрерывности принимает все значения из отрезка ; следовательно, функция  на отрезке  обратима, т. е. имеет О. ф., которая называется арксинусом и обозначается . О. ф. на отрезке  является также возрастающей и, как и синус, нечетной.

Справедлива следующая теорема об О. ф.: для всякой непрерывной возрастающей (убывающей) функции , заданной на отрезке  и с множеством значений , существует однозначная возрастающая (убывающая) и непрерывная О. ф., отображающая   на .

Мы привели определение однозначной О. ф., которую обычно называют О. ф., опуская слово «однозначной». Однако в математике иногда, допуская вольность, рассматривают многозначные О. ф. Строго говоря, речь тогда идет об обратном соответствии. Например, для функции , , О. ф. будет «двузначная» функция , так как  и  На рисунке 26 показан график функции  и двузначной О. ф. (с изменением обозначений  и ) . Если О. ф. многозначна, то ее часто представляют как совокупность однозначных функций, также называемых О. ф. (точнее, ветвями О. ф.).

Рис. 26