ОБЪЕМ

ОБЪЕМ — неотрицательная аддитивная функция множества точек трехмерного пространства (в обобщениях — n-мерного пространства), не меняющаяся при любых движениях пространства. Это значит, что некоторым множествам точек трехмерного пространства ставятся в соответствие неотрицательные числа, называемые О., при этом выполняются следующие свойства (аксиомы):

1. Конгруэнтные множества имеют равные объемы (свойство инвариантности).

2. О. объединения конечного множества (счетного множества) множеств (фигур, тел), не имеющих общих внутренних точек, равен сумме объемов этих множеств — свойство аддитивности (счетной аддитивности).

3. Значение О. единичного куба (длина ребра куба равна 1) равно единице. Из свойств О. можно заключить, что О. правильной части множества точек (фигуры, тела) не больше О. всего множества точек.

О. есть мера количества пространства, занимаемого точками множества (тела, в частности). К описанному определению О. приводят интуитивные представления об измерении части пространства.

Если тело, О. которого мы измеряем, не может быть составлено из конечного числа единичных кубов, то поступаем так: заполняем данное тело кубиками со стороной  так, чтобы два соседних куба имели общую грань, до тех пор пока нельзя будет добавить ни одного куба со стороной  без того, чтобы не выйти за границу тела. С другой стороны, рассматриваем множество кубиков, примыкающих друг к другу, как описано выше, покрывающих все точки тела, и таких что каждый имеет непустое пересечение с телом. Их О. обозначим через ; О., занимаемый внутренними кубиками, обозначим . Тогда О. тела равен  при всевозможных способах заполнения тела кубиками. Конечно, не для всякого тела существует  и не всегда . Поэтому О. определяется не для всех точечных множеств трехмерного пространства. О. обобщается в понятии меры множества. Те множества, которые не имеют меры (объема), называются неизмеримыми. Два тела, имеющие равные О., называются, равновеликими. Два равносоставленных многогранника равновелики, но обратное, вообще говоря, как показал немецкий математик Ден (1901), неверно: существуют равновеликие многогранники, которые не равносоставлены.

Примеры. 1.О. пирамиды равен , где  — площадь основания,  — высота (или ее длина).

2. О. многогранника, в который можно вписать сферу, равен , где  — полная поверхность многогранника, a  — радиус вписанной сферы.

3. О. тела, полученного вращением кривой , ,  вокруг оси Ох, равен .

См. также: Длина отрезка, Длина кривой, Площадь.