ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ n-мерного евклидова пространства — линейное преобразование, сохраняющее длину каждого вектора. О. п. есть обобщение вращений трехмерного евклидова пространства вокруг начала координат (быть может, с отражениями) на многомерный случай. В ортонормальном базисе матрица  О. п. обладает следующими свойствами:

1) сумма квадратов элементов одной строки (одного столбца) равна единице:

;

2) , ; , .

Матрица , обладающая свойствами 1) и 2), называется ортогональной. Матрица , обратная ортогональной матрице , совпадает с транспонированной . Все собственные значения ортогональной матрицы или О. п. по модулю равны единице. Совокупность всех О. п. образует группу, которая называется ортогональной группой.

Справедлива теорема: всякую квадратичную форму, О. п. переменных можно привести к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами. Эти коэффициенты вещественны, если коэффициенты квадратичной формы вещественны.

Примеры. 1. Вращение трехмерного евклидова пространства вокруг начала координат есть О. п.

2. Преобразование переменных ,  ортогонально относительно скалярного произведения .

3. Матрица

ортогональна.

4. Если  и  — системы ортонормальных векторов, то линейное преобразование , задаваемое формулами: , , есть О. п.

Пусть  означает косинус угла между  и , . Тогда матрица, составленная из этих коэффициентов, есть ортогональная матрица. В базисе  она задает О. п. А О. п. рассматривается во многих отделах математики. В частности, в аналитической геометрии задача о приведении уравнения кривой (поверхности). 2-го. порядка к каноническому виду эквивалентна задаче о приведении квадратичной формы О. п. к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами.

Различают собственные и несобственные О. п. Определитель матрицы собственных О. п. равен , а несобственных . Несобственные О. п. есть вращение евклидова пространства вокруг начала координат с отражением.