ОДНОЛИСТНАЯ ФУНКЦИЯ

ОДНОЛИСТНАЯ ФУНКЦИЯ — аналитическая функция комплексного переменного , заданная в области  и не принимающая в этой области одинаковых значений, т. е.  при , . Производная О. ф. не обращается в нуль внутри области . О. ф. осуществляет взаимно однозначное соответствие между областями  и  (плоскость переменного ), причем это соответствие является конформным отображением.

Изучение функции, однолистной в некоторой односвязной области, может быть сведено к изучению двух О. ф. внутри круга . О. ф. в круге  называется нормированной, если , . Для любой нормированной О. ф. , заданной в круге , справедливо следующее утверждение: коэффициенты ряда Тейлора (см. Тейлора ряд)  функции

удовлетворяют неравенствам , т. е. эти коэффициенты растут не слишком быстро в зависимости от номера.

Известна проблема коэффициентов из теории О. ф.; указать необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты , чтобы функция  была О. ф. В настоящее время проблема не решена.