ОРИЕНТАЦИЯ

ОРИЕНТАЦИЯ: 1°. О. базисов. Говорят, что два базиса (два репера n-мерного пространства  и ) одинаково ориентированы, если линейное преобразование ,  задается матрицей  с положительным определителем. Если же матрица преобразования  имеет отрицательный определитель, то базисы  и  ориентированы различно.

2°. О. поверхности. Разобьем поверхность на частично налегающие друг на Друга куски  такие, что уравнение каждого куска может быть дано в виде:

, , , ,

(для поверхности в целом такие уравнения, вообще говоря, написать невозможно).

На каждом таком куске задается два векторных поля (два упорядоченных линейно независимых касательных вектора в каждой точке поверхности, непрерывно зависящих от точки). Каждая пара указанных векторных полей задает О. куска. Две дары векторных полей задают одну и ту же О. куска, если в любой точке куска векторы  и  первой пары векторных полей одинаково ориентированы с  — векторами второй пары векторных полей. В противоположном случае две пары векторных полей задают различные ориентации.

Если куски  покрывающие поверхность, можно ориентировать так, чтобы на пересечениях  совпадали ориентации кусков  и , то поверхность называется ориентируемой, а ее О. определяется О. каждого из кусков.

Для наглядности вместо пары векторных полей рассматривается на каждой поверхности векторное произведение векторов из векторных полей. Тогда в каждом куске задается поле векторов, ортогональных поверхности и направленных в «одну сторону» от поверхности. Если на каждом куске (рис. 36) рассмотреть такое поле и если на пересечении  поля  и  совпадают по направлению, говорят, что поверхность ориентируемая и задана ее О. Отсюда непрерывное семейство нормальных к поверхности векторов задает О. поверхности. Та сторона поверхности, куда направлены нормальные векторы, называется положительной стороной относительно данной О.

Рис. 36

Примеры. 1. Семейство векторов (рис. 37), ортогональных сфере и направленных от центра, задает О. сферы, объявляя положительной внешнюю сторону поверхности сферы. Возможна другая О. Ее задают нормальные векторы сферы, направленные внутрь сферы.

Рис. 37

2. На листе Мёбиуса невозможны непрерывные семейства ненулевых нормальных векторов. Лист Мёбиуса неориентируем.

3°. О. несамопересекающейся кривой — один из двух возможных способов «движения» вдоль кривой.

4°. О. гладкого многообразия М. Пусть карта, принадлежащая атласу, задает гладкую структуру на . В касательном пространстве каждой точке  можно выбрать (непрерывно зависящий от ) базис. Если это сделано для каждой карты и при этом отображения , связанные с , имеют в каждой точке положительный якобиан, то говорят, что задана О. многообразия.

См. также: Односторонние поверхности, Ориентируемые поверхности.