ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА

ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА. Пусть  — гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая область  в трехмерном евклидовом пространстве;  — векторное поле, определенное в  и на  и такое, что все частные производные функций  непрерывны в .

О. ф. имеет вид:

,    (*)

где  — поверхность с ориентацией, определяемой внешней нормалью .

О. ф. допускает следующую гидромеханическую интерпретацию. Пусть  — поле скоростей движущейся жидкости. Интеграл  численно равен количеству жидкости, вытекающему из тела  через поверхность  в единицу времени (поток поля  через поверхность ). С другой стороны,  — (см. Дивергенция) равна пределу отношения потока векторного поля через границу  малого объема  к величине объема , когда область стягивается к точке. Алгебраическая сумма количеств жидкости, вытекающих из объемов  в единицу времени, равна количеству жидкости, вытекающему за единицу времени через граничную поверхность  (поскольку потоки между соседними объемами взаимно сокращаются). В терминах векторного анализа О. ф. может быть записана следующим образом:

.            (*)

В n-мерном евклидовом пространстве О. ф. имеет вид, аналогичный (**), где ,  — функция декартовых координат ,  — единичные орты осей координат,  — внешняя единичная нормаль к поверхности . Если уравнение поверхности  имеет вид:

, то , , .

О. ф. была установлена русским математиком М. В. Остроградским в 1828, а опубликована в 1831 г.

О. ф. родственна формулам Ньютона — Лейбница, Грина формуле, Стокса формуле, устанавливающим связь интегралов по области и по границе.