ОПЕРАТОР

ОПЕРАТОР — в широком смысле слова — термин, являющийся синонимом терминов «отображение», «функция». Пусть даны два множества  и соответствие  между этими множествами, относящее каждому  некоторый элемент  (обозначается ). В этом случае говорят, что задан О. из множества  в множество . Среди трех формально равноправных терминов — отображения, функция, О. — традиция установила некоторое различие. Именно для абстрактных множеств  (т. е. для множеств, не наделенных никакой дополнительной структурой) употребителен термин «отображение» и в меньшей степени «функция», «оператор»; для числовых множеств  используют термин «функция»; если  — множество функций (обычно нескольких переменных), а  — множество вещественных или комплексных чисел, то говорят, что задан функционал.

Термин О. употребляется особенно часто в том случае, когда отображение  отображает множество функций  в множество функций  (здесь функции — элементы множеств  являются обычно функциями одной или нескольких переменных).

Наиболее важным и изученным классом О. являются линейные операторы гильбертова пространства. Пусть  — линейные пространства. О.  называется линейным О., если ,  для любых  и любого числа . Обычно рассматривают непрерывные линейные О.  для линейных топологических пространств . Линейный О.  называется непрерывным, если отображение  непрерывно в топологиях пространств .

Многие математические задачи, а также прикладные вопросы математики связаны с дифференциальными и интегральными линейными О.

Примеры. 1. Оператор дифференцирования  переводит всякую дифференцируемую функцию  одного вещественного переменного в производную — .

2. Линейное преобразование  линейного (векторного) конечномерного пространства  является линейным О. При выборе базиса в  О.  может быть задан матрицей линейного преобразования.

3. Формула  определяет линейный О., сопоставляющий каждой непрерывной функции  функцию ; здесь  — функция двух вещественных переменных, непрерывная для .

4. О. сдвига , определенный на множестве непрерывных на  функций .