ОСОБАЯ ТОЧКА

ОСОБАЯ ТОЧКА: 1°. О. т. кривой, заданной уравнением , — точка   такая, что .

Из уравнения  ни одно из переменных , вообще говоря, не может быть выражено как функция другого даже в как угодно малой окрестности точки . Если вторые частные производные не все одновременно обращаются в нуль в точке , то поведение кривой в окрестности  во многом определяется знаком :

.

Если , то О. т. изолированная (например, начало координат для кривой ); если , то в этой О. т. кривая самопересекается (например, кривая  имеет начало координат точкой самопересечения); если , то необходимо более глубокое исследование вопроса о характере особой точки.

Рис. 40

2°. О. т. в теории дифференциальных уравнений — точка , в которой одновременно обращаются в нуль числитель и знаменатель правой части уравнения

,

где  и  непрерывны вместе со своими первыми производными в .

Для исследования интегральных кривых в окрестности особой точки составляют характеристическое уравнение матрицы:

, т.е. .

Если корни этого уравнения  и  вещественны и , то О. т. называется узлом. Качественно интегральные кривые в узле имеют вид, изображенный на рисунке 40.

Если  и , то О. т. есть седло. При комплексных, но не чисто мнимых  и  О. т. есть фокус кривой. Всякая интегральная кривая бесконечное число раз закручивается вокруг фокуса.

Чисто мнимые корни  и  не определяют полностью характер О. т. Этот случай и случай  представляют предмет более глубокого исследования.

3°. О. т. однозначной аналитической функции (см. Аналитическая функция) — точка, в которой нарушается аналитичность функции. Если существует окрестность О. т., не содержащая других О. т., то точка называется изолированной, Изолированная О. т.  называется устранимой, если существует

,              (*)

Если , то О. т.  называется полюсом, а если предел (*) не существует в расширенной плоскости комплексного переменного, то  называется существенно О. т. Ряд Лорана (см. Ряд Лорана) не содержит отрицательных степеней , если  является устранимой, не содержит  в степени меньшей, чем  ( — целое положительное число), если  является полюсом (наибольшее такое  называется порядком полюса). В существенно О. т.  встречается в отрицательной степени бесконечно много раз.

Справедлива теорема: на границе круга сходимости степенного ряда функции существует по крайней мере одна О. т. функции, представляемая этим рядом.