ОГИБАЮЩАЯ

ОГИБАЮЩАЯ однопараметрического семейства линий на плоскости (или однопараметрического семейства поверхностей в пространстве) — линия (поверхность), которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной линии (поверхности) семейства.

Уравнение О. может быть получено следующим образом: пусть  — уравнение однопараметрического (параметр ) семейства линий на плоскости. Координаты  точек, принадлежащих О. семейства, удовлетворяют системе уравнений ,  (*) вместе с некоторым значением параметра . Если исключить  из системы уравнений (*), то получим уравнение , которому удовлетворяют точки О. и особые точки кривых семейства, т. е. точки, для которых одновременно , .

Примеры. 1. О. семейства окружностей  будет состоять из двух параллельных прямых: ,  (рис. 29).

2. Всякая кривая является О. семейства своих касательных и О. семейства своих кругов кривизны.

3. Если в каждой точке кривой построить к ней нормаль, то О. семейства этих нормалей будет эволюта данной кривой.

4. О. семейства сфер радиуса  с центрами, лежащими на одной прямой, будет круговой цилиндр того же радиуса  с осью, совпадающей с линией центров сфер: цилиндр касается каждой сферы по окружности.

5. О. семейства сфер радиуса , центры которых лежат в одной плоскости, есть пара плоскостей, параллельных плоскости центров и отстоящих от нее в ту или другую сторону на расстоянии .

Рис. 29

Понятие О. имеет значение не только в геометрии, но и в некоторых вопросах математического анализа (особые решения дифференциальных уравнений), физики (фронт волны) и др.