ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ  и  есть множество, состоящее из тех и только тех элементов, каждый из которых есть элемент хотя бы одного из множеств  или . О. м.  и  обозначается символом  (или  и называется часто также суммой множеств  и ). О. м.  и  на рисунке 27 схематически изображено заштрихованной областью.

Рис. 27

Аналогично, если даны множества , где  пробегает конечное или бесконечное множество индексов , то О. м.   называют множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному множеству  при некотором . (Если некоторый элемент  входит в несколько множеств , то в О. м.  он входит лишь один раз.) О. м.  ( обозначается символом  (или ), а в случае когда  конечно и состоит из  чисел , О. м.  обозначается символом  (или  или ).

Если  — счетное множество и состоит из чисел натурального ряда , то О. м.  обозначается символом  (или        , или , или ).

О. м. является одной из основных операций над множествами. О. м. удовлетворяет законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности; О. м. связано с пересечением множеств двумя законами дистрибутивности:

 и .

Эти два закона дистрибутивности двойственны (см. Двойственности принцип).

Примеры. 1. Пусть  — множество четных чисел и  — множество нечетных чисел; тогда  — множество всех целых чисел . 2. Пусть  — множество всех действительных чисел , удовлетворяющих неравенствам , где  пробегает множество натуральных чисел ; тогда  является множеством всех неотрицательных действительных чисел.