ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений.

В связи с этим методы операционного исчисления находят самое широкое применение в механике, электротехнике, автоматике и в других самых разнообразных отраслях науки и техники. В основе операционного исчисления лежит идея функционального преобразования: некоторой функции вещественного переменного , определенной при положительных значениях аргумента, называемой начальной функцией или оригиналом, с помощью линейного интегрального преобразования ставится в соответствие функция другого переменного , называемая изображением.

Подобное преобразование «оригинал—изображение» можно осуществить так, чтобы операциям дифференцирования и интегрирования начальных функций соответствовали алгебраические операции в области изображений. Это дает возможность находить с помощью простейших алгебраических действий изображения решений исходных дифференциальных уравнений, затем разыскать соответствующую начальную функцию, т. е. решение осуществляется с помощью некоторых простых правил и «каталога» наиболее часто встречающихся изображений. В более сложных задачах приходится прибегать к обратному функциональному преобразованию: «изображение—оригинал».

Систематическое применение операционного исчисления к решению физических и технических задач началось с появления в 1892 г. работ английского ученого О. Хевисайда. Сущность О. и. можно проиллюстрировать на примере с наиболее часто встречающимся в прикладных задачах классом начальных кусочно-непрерывных функций  вещественной переменной , определенных при  и принимаемых равными нулю при . Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента, а именно: , где  и  — независимые от  числа.

Если  — некоторое комплексное число, то при указанных ограничениях, накладываемых на функцию , интеграл

       (*)

существует и представляет регулярную в полуплоскости  функцию от , называемую лапласовым преобразованием функции , а также изображением начальной функции или оригинала .

Ряд свойств изображения (*), например изображения производной :

и изображения интеграла:

делают очевидным тот факт, что преобразование (*) переводит операции дифференцирования и интегрирования в операции умножения и деления на комплексное переменное .

Пользуясь основными свойствами изображения, составляются изображения некоторых простейших функций — «каталог» изображений. «Каталог» изображений простейших функций и теоремы разложения Хевисайда, дающие возможность отыскать начальную функцию, когда изображение  является полиномом или отношением двух полиномов, позволяют простейшим способом найти решение большой группы обыкновенных линейных дифференциальных и разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Однако многие задачи приводят к изображениям, не содержащимся в «каталоге». Существует общее средство построения начальной функции по ее изображению — так называемая формула обращения Римана — Меллина:

,

где интегрирование производится по любой прямой в плоскости , параллельной мнимой оси и расположенной в полуплоскости .

В математической физике при интегрировании дифференциальных уравнений с частными производными применяется многомерное О. и.